有关圆中阴影部分的面积的几种求法

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【摘 要】求阴影部分的面积，一直是平面几何中的一个重点和难点，本文主要利用图形的平移、旋转、轴对称、分割、组合等图形变换的转化思想来求圆中的不规则阴影部分的面积，文中结合例题给出了几种常见方法。

【关键词】阴影面积 平移 旋转 转化 组合

求解圆中阴影部分的面积时，阴影部分是不规则的图形，感觉无从下手。这时候就可以考虑利用转化的思想，把复杂的问题转化为基本问题，把难解决的问题转化为较容易解决的问题，把新知识转化为已经掌握或较熟悉的内容。通过对图形的观察，比较、分析，巧妙地利用图形的变换把不规则的图形转化成为我们熟悉的规则的图形，利用规则图形的面积公式进行求解。下面我们给出几种常见的方法。

一、利用图形的旋转求面积

利用图形的特点，将图中某一部分图形进行旋转后把阴影部分组合为一个规则的图形，然后利用面积公式进行求解。

例1.如右图正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

分析：将右半部分上面小正方形绕着整个图形的中心逆时针旋转90°，右半部分下面的小正方形绕着整个图形的中心顺时针旋转90°，此时右半部分和左半部分重合后，阴影部分组成一个矩形。

所以阴影部分的面积为：1×2=2平方厘米

二、利用图形的平移求面积

观察图形，结合图形的特点，将某一部分进行平移，最后将阴影部分组合为规则图形，进而求面积。

例2.如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）

分析：观察图形的特点，可以把最右面的正方形平移至最左边的正方形部分，则阴影部分组合成了一个长方形，所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米。

三、利用图形的轴对称变换求面积

根据图形的特点，将图中的某一部分进行轴对称变换后，将阴影部分转化为规则的图形或规则图形的和与差，进而求解。

例3.图中圆的半径为5厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

分析：以圆的直径AB为轴将圆的上半部分翻转下来，F点和D重合，则阴影部分的面积可以用梯形ABCE减去直角三角形ABD，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。

阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米

四、利用分割法求面积

对于简单的图形，也可以直接通过连接线段，将阴影部分分割为规则图形的组合。

例4.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。

分析：连PD、PC，将两部分的阴影分割成了两个三角形和两个弓形，两三角形面积为：APD面积+QPC面积=（5×10+5×5）=37.5

两弓形PC、PD面积为：

π（5）2-5×5

阴影部分的面积为：

37.5+π-25=51.75平方厘米

五、利用等积组合求面积

有些阴影部分不好进行图形变换时，我们也可以考虑进行等面积的转换，再组合成规则的图形求面积。

例5.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。

分析：DCE的面积为：×4×10=20平方厘米

梯形ABCD的面积为：（4+6）×4=20平方厘米，从而知

道它们面积相等，它们又有公共部分梯形BCDF，则可知ADF面积等于EBF面积，把ADF面积就可以转化为EBF面积，所以阴影部分就可以补成圆ABE的面积，其面

积为：π62÷4=9π=28.26平方厘米。

以上谈了求阴影部分面积的几种方法，就是把不规则的几何图形的面积转化成规则的几何图形来求其面积。

【参考文献】

[1] 仿. 灵活多变求几何图形阴影面积.中学数学（初中版）下半月，2012（01）.

[2]张小丽. “求阴影面积”讲与练[J].中学生数理化（教与学），2008（01）.