透过对称感知美

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(扬州大学附中浙江 扬州225002)

众所周知，利用对称法解题，可以免去许多繁杂的数学计算，使问题的物理实质得以清晰的展现，还可以训练学生平面几何知识与物理知识的综合应用.笔者在几道对称例题的教学过程中，不仅体会到以上的优点，还真真切切的感知到对称时不同的美.

1对称轴的变换，带来平面视觉的美

例如图1所示，MN和PQ是两块光滑挡板，两板平行放置，板间距离为d=0.15 m，A、C是MN板上相距L=0.2 m的两个小孔.质量为m=2×10-12 kg、带电量为g=+5×10-12 C的粒子(可以看成点电荷)从A点以速度v=3×103 m/s的速度垂直于MN板射入，粒子与两板的碰撞为弹性碰撞(粒子碰撞前后沿板方向的速度不变，垂直于板的速度大小不变，方向变为反向)，带电粒子的重力不计.则

(1)若两板间有与板面平行的匀强电场，如图1，且粒子只与PQ板碰撞一次就从C点飞出，求匀强电场的电场强度的大小；

(2)若两板间有如图2所示的匀强磁场，要使粒子只与PQ板碰撞一次就从C点飞出，求磁感应强度的大小.

分析粒子在电场中受竖直向下的电场力，所以做平抛运动.在运动过程中与PQ板碰撞，粒子碰撞前后沿板方向的速度不变，垂直于板的速度大小不变，方向变为反向(如图3)，运动变为斜下抛(如图4).由于速度在碰撞前后关于PQ对称，而受力不变，所以若没有挡板和有挡板的运动轨迹关于PQ对称(如图5).容易看出粒子打到C点的水平位移为2d，

t=2dv,

L=Eq2mt2=2Eqd2mv2,

则E=mv2l2qd2=1.6×103 N/C.

若粒子是在磁场中运动，受始终与速度垂直的洛伦兹力，所以做匀速圆周运动.在运动过程中与PQ板碰撞，粒子碰撞前后沿板方向的速度不变，垂直于板的速度大小不变，方向变为反向(如图6).虽然速度在碰撞前后关于PQ对称，但所受洛伦兹力的方向发生了改变，关于OO′对称(如图7)，粒子的运动轨迹也关于oo′对称(如图8).

这时可以简化为圆周运动中常见的模型(如图9)，由几何关系

R-R2-d2=l2,

得R=l4+d2l，

又R=mvqB，

则B=4mvl(l2+4d2)q=0.74 T.

本题借助图形的对称，使运动的实质得以清晰的展现.由于已知条件的变换，造成运动轨迹对称轴的变换，因而在平面作图上就发生了变化.既复习了基本模型，又训练了学生平面几何知识与物理知识的综合应用，是一道关于对称有美感的例题.

2运动过程的对称，展现慧心巧思的美

例如图10所示，在坐标系xOy第二象限内有一圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直xOy平面.在x轴上有坐标(-2l0,0)的P点，三个电子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向从P点同时射入磁场区，其中电子b射入方向为+y轴方向，a、c在P点速度与b速度方向夹角都是θ=π3.电子经过磁场偏转后都垂直于y轴进入第一象限，电子b通过y轴Q点的坐标为y=l0,a、c到达y轴时间差是t0.在第一象限内有场强大小为E，沿x轴正方向的匀强电场.已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力.求：

(1)电子在磁场中运动轨道半径和磁场的磁感应强度B.

(2)电子在电场中运动离y轴的最远距离.

(3)三个电子离开电场后会经过某一相同点，求该点的坐标和先后到达的时间差Δt.

分析三电子轨迹如图11所示.

由图1可知，其中它们离开磁场后到达y轴时间是相等的，在磁场区中a转过30°圆心角，时间ta=T12，c转过150°圆心角，时间tc=5T12，则

t0=tc-ta=T3=2πm3eB0,

B0=2πm3et0.

电子在磁场中运动时满足

ev0B0=mv20T,

则v0=3B0Rm=2πl03t0,

在电场中做减速运动，满足

-eEx1=0-12mv20,

得x1=2π2ml209eEt20.

减速到零后又反向加速，再次运动到y轴，此时速度的大小仍是v0,但方向相反.所以电子离开电场再次返回磁场轨迹如图12所示，三个电子经过相同点的坐标为

x=-2l0,y=2l0.

由运动的对称性和在磁场中轨迹的对称可知，a、b、c在磁场中运动时间都是半个周期，在电场中运动时间也都相等，所以时间差在非场区，a、c同时到达该点，与b比较，时间较长，故Δt=2(3l02v0-l0v0)，b先到达.

本题正因为运动过程的对称性，使得在磁场中a电子后来的轨迹与c电子原来的轨迹偏转的圆心角相等，同样c电子后来的轨迹与a电子原来的轨迹偏转的圆心角相等,且也和b电子偏转的圆心角相等，都是180°，所以三个电子在磁场中的运动的总时间相等，这样才带来过程的简化，使问题得以柳暗花明.笔者感叹题意设计的巧妙，感叹电子运动的巧合，更感知到对称带来的美.

3物置的对称，激发思维灵动的美

例如图13所示，一质量为ｍ的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O点，另-端与该小球相连.现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力相等，在小球由A到B的过程中，

A.加速度等于重力加速度g的位置有两个

B.弹簧弹力的功率为零的位置有两个

C.弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功

D.弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离

分析小球处于A、B两位置时弹簧的弹力相等，但OA长度小于OB长度，可分析出两位置弹簧的形变量相等，只不过小球处于A点时，弹簧是压缩的；小球处于B点时，弹簧是拉伸的.自然想到A点的对称点A′弹簧也是压缩的，进一步想到小球由A′沿杆运动到B点，必然有个弹簧恢复到原长的位置C点(如图14).所以由物置对称的信息，带动思维的跳跃，可轻松的判断出A、C正确，B项错误.同时注意到小球运动到A′和B点时，弹簧的弹性形变相同，则在A′和B点弹簧的弹性势能相等，这也是弹簧的形变关于原长的对称.小球由A′运动到原长C点的过程中，弹簧的弹力对小球做正功，小球由原长C点运动到B点的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，正功和负功的数值相等，由于力与位移的夹角不同，可以分析出弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离与小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离不等，D项错误.

通过本题的分析，可以清晰的看到正因为物置的对称，一步步激活了思维，顺理成章了.让学生和老师都感觉到环环相扣的美妙，感知到心智灵动的美.

物理题目的设计不仅要起到训练学生思维能力的作用，还要能激发起学生学习的兴趣.三道例题都出现了对称的信息，如能巧妙运用，会让人在冥思苦想后，深深呼出一口气，原来“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”.这就是例题美的表现，表现出对称的美，表现出和谐的美，表现出智慧的美.当然也是学生学的乐趣所在，更是学生学的动力源泉.12′limΔt0limn∞