反三角函数极限的另一种解法

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【摘要】根据高职学生的特点，对反三角函数的教学不需要让他们记住图像与性质，如求反三角函数的极限问题可通过三角函数的图像来解题.

【关键词】高职数学；反三角函数；三角函数图像；求极限

高职数学怎么教是不少老师时下较头疼的一个问题.高职教育不同于普通高校本科教育，而且数学又是一门逻辑性非常强的学科，如果我们把传统的教学方法用在高职数学教学中，就会出现学生难学、老师难教，学生、老师都抱怨的场面，其结果是可想而知的.下面以反三角函数为例，谈一谈自己的做法.

在高等数学中的六种基本初等函数中，反三角函数是最难掌握的内容.事实上很多同学在学完反三角函数的图像与性质后都不太记得清甚至记不得这部分内容了.但正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数就不一样了.这部分内容学生在高中已经学得非常扎实，又做过大量练习，所以几乎所有的学生都能记得这四个三角函数的图像和性质.

那我们能不能通过三角函数来解决反三角函数的相关问题呢？如果可以的话，那我们一开始就不用学生去死记反三角函数的图像和性质了.在看到反三角函数这个名词时，学生马上就会有一个反馈：这是三角函数的反函数.此时，我们有两个问题一定要问学生：“1.三角函数在其定义域上有没有反函数？2.什么样的函数有反函数？”这样我们就明确了三角函数只有在某个单调区间上才有反函数，而且是在某个特定的单调区间上的反函数才称之为对应的反三角函数.如正弦函数y=sinx在-π12，π12上的反函数称为反正弦函数y=arcsinx，从而可得反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1，1]，值域为-π12，π12.其余三个反三角函数不再叙述.通过运用让学生在解题过程中对反三角函数的性质进一步巩固.

下面我们来看如何用三角函数的图像求反三角函数的极限.

例1求limx-∞arctanx.

解令y=arctanx.（1）

则x=tany， y∈-π12，π12.（2）

注意（2）式中的x与（1）式中的x是同一x，y也一样.

画出x=tany，y∈-π12，π12的图像：（因为在这个函数中y是自变量，所以横轴用y表示）

由图可见，当x-∞时，y-π12.

故limx-∞arctanx=-π12.

例2求limx+∞arccotx1x.

解（一）由反三角函数的性质知，arccotx是有界函数（0

而当x+∞时，11x是无穷小量，

由无穷小的性质知，limx+∞arccotx1x=0.

当学生忘了反三角函数的性质时，我们怎么求极限呢？

解（二）用类似例1的方法求出limx+∞arccotx=0（不再重述），

limx+∞arccotx1x=limx+∞arccotx·limx+∞11x=0×0=0.

【参考文献】

＼[1＼]沈跃云，马怀远.应用高等数学 ＼[M＼]. 北京：高等教育出版社，2010：11-12.

＼[2＼]范成威. 浅谈“反三角函数”的教法 ＼[J＼]. 四川师院学报（自然科学版），1984（1）：80-82.

＼[3＼]程煜生. 求三角函数在单调区间上的反函数的简便方法 ＼[J＼]. 数学通讯，2001（10）：2.