真假余数(1)

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片段描述：苏教版四年级上册除法这一单元练习中，有道题班上出现了集体性的错误（如图所示）。

这是一道考查学生除法计算与商不变性质综合运用能力的题。我仔细分析了一下造成这样大面积错误的原因：课堂教学中探究“商不变性质”时，学生只关注了被除数与除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变这个现象，而忽视了当有余数时，余数的变化规律。

“为什么余数要随着被除数和除数的变化而变化？”这一概念比较抽象，如果要让所有的学生充分理解很困难。我决定避重就轻，采用逆推和假设的方法，巧妙利用学生的错误资源，引导学生探索错误的成因。

师：小明和小军都是班上的数学小组长，特别喜欢学数学，今天他俩为了一道选择题的对错又争论了起来，大家来评一评，看谁有理。

教师分别出示两种不同的做法及竖式，学生自主探索，判断哪种做法正确。

小明的做法：420÷40=10……（ 2 ）

小军的做法：420÷40=10……（ 20 ）

师：你认为谁的做法正确？

生1：我认为小明的做法是正确的，因为这题的被除数与除数末尾都有一个0，可以利用商不变的性质，将被除数与除数都缩小10倍，商不变。我算了下，正好余2。

师：这位同学利用商不变的性质使计算简便，你们都同意他的意见吗？

生2：我觉得小明的做法是错的，我刚刚验算了一下，假设余数等于2的话，40×10+2=402，而这里的被除数是420。

师：这位同学假设余数是2，然后根据“除数×商+余数=被除数”来检验算式，说明了小明的做法是错误的。

生3：我假设余数是20，然后进行检验，40×10

20=420，所以我判断小军的做法是对的。

生4：我是直接进行笔算，没有运用简便算法，（安排该同学板演），得出余数是20。

师：观察对比两道竖式，思考一下，为什么运用简便算法，余数会缩小10倍？

生：如果被除数和除数同时缩小10倍，商不变，余数也会随着缩小10倍，所以得到了2。

师（指着余数“2”）：要想得到原来的余数该怎么办？（将2扩大10还原成20）

这是巧合吗？引导学生举几个例子证明，然后得出结论：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，余数也会随之扩大或缩小相同的倍数。学生举例证明，气氛很活跃，从后面的练习情况来看，学习效果很好。

反思：以上这种错误在学生中很普遍，学生或多或少会出现这样错误的认识：“商不变，余数也不变。”而造成这种错误的原因是学生对“商不变性质”的认识单薄，没有把握其内涵。一般来说，有两种方法帮助学生“补救”。

一种是运用假设法和逆推法，根据“除数×商+余数=被除数”这一公式进行验证，这种方法学生容易理解，运用起来很熟练，既体现了思维的灵活性和多样性，又适当向学生传递了验算的重要性。

另一种就是对比的方法，通过简便运算和一般计算的竖式对比，引导学生观察比较，发现余数的变化规律，从而深化了对“商不变，但余数会随着被除数和除数变化”这一知识的理解和掌握。

两种方法都很简单，容易被学生接受和掌握。在学生明白了“商不变性质”的知识内涵后，教师可引导学生举一反三，加深对错误的认识，避免再次出错。

（作者单位：湘潭市金庭小学）