趣谈抽象函数的性质

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇趣谈抽象函数的性质范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要:抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。

关键词:抽象;函数;性质

中图分类号:G642 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0071-01

抽象函数指一类只给出具有某类特征或性质,用一种符号表示的函数,这类函数没有给出或没有具体的函数解析式,是高中函数部分的重要知识点,也是高考的一个热点。由于抽象函数的抽象性和隐蔽性,让大多数学生感到无从下手,本文对抽象函数的性质进行了详细的归纳小结,有助于从总体上把握抽象函数的性质。

一、抽象函数的定义域

例1. 若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域是()

解: y=f(x)定义域是[0,2],

使函数g(x)= 有意义,必须满足x-1不等于0,2x大于等于0小于等于2,

解之得:0≤x

=的定义域为,故选B。

点评:解决抽象函数定义域问题,必须明确抽象函数的定义,运用了整体等价转化的思想。

二、抽象函数的值域

例2 . 若函数y=f(x+3)的值域为[-1,2],则函数y=f(2x+1)的值域为_。

解:函数的值域主要由定义域和对应法则决定,当对应法则没有改变时,函数y=f(2x+1)的值域不变,故的值域仍是[-1,2]。

例3. 若函数y=fx()的值域是[ ,3],则函数F(x)=f(x)+ 的值域为_。

解: 令t=y=f(x),则 ≤x≤3,而函数g(t)=t+ 在区间[ ,3]上是减函数,在[1,3]上是增函数,且g( )= ,g(1)=2,g(3)= 故值域为[2, ]。

点评:求解抽象函数的值域首先明确值域由定义域和对应法则决定,然后结合抽象函数的其它性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)进行求解。

三、抽象函数的单调性

例4.已知函数y=f(x)的定义域是(0,+∞),当>1时,f(x)>0且,f(xy)=f(x)+f(y),判断函数f(x)在定义域上的单调性。

解:令x=y=1,则,f(x)=0

令y= ,则f(1)=f(x)+f( )=0,f(x)=-f( )。

任意取x1,x2属于(0,+∞),且x2>x1,

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( ) =f( )

>1,f( ) >0,故f(x2)>f(x1),

f(x)在定义域上单调递增。

点评:解决抽象函数问题单调性问题,可以紧扣基本定义(作差或作商),进行合理的拼凑即可解决问题。

四、抽象函数的奇偶性

例5.已知函数y=f(x)(x属于 R,且x不等于 0),对任意非零实数,x1,x2,恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性。

解法一:函数f(x)的定义域(-∞,0)U(0,+∞)关于原点对称,

令x1=x2=x,则,f(x2)=2f(x)

f(x)=f(-x),故函数f(x)是偶函数。

解法二:函数f(x)的定义域(-∞,0)U(0,+∞)关于原点对称,

令x1=-1,x2=x,则f(-x)=f(-1)+f(x),

再令x1=x2 =1,得f(1)=0,又f(1)=f(-1*-1)=0,

f(x)=f(-x),故函数f(x)是偶函数。

点评:解抽象函数奇偶性问题时,一定要先考察其定义域是否关于原点对称,然后紧扣奇偶性定义进行合理的赋值,即可求解问题。

我们研究抽象函数主要从抽象函数的概念和性质进行研究,可类比初等函数的学习方法进行学习,虽然抽象函数的抽象性和多边性使得抽象函数的求解非常困难,但事实上抽象函数与诸多基本函数的性质有着非常紧密的联系,只要在解题过程中不断地进行归纳和总结,挖掘其中的隐含条件,运用以上归纳的策略进行求解,可达到事半功倍的效果。

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文