利用柯西不等式妙解距离问题

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柯西不等式是课标新选入的高等数学中的内容，对于一般的学生要求不高.但由于其结构对称优美，形式多样，在中学数学中的很多方面都能发现它的应用.笔者重点研究柯西不等式与几何中距离公式的关系.

一、柯西不等式的一般形式

二、柯西不等式与点到直线距离公式的联系

笔者将通过对高中阶段一道常见的最值题目进行研究，得到两种“形很远”而“神很近”的解法，进而找到柯西不等式与几何中距离问题的联系.

使用方法二处理时，若问何时取得最小值，还可以运用求两垂直直线AB与OE交点的方法，得到最值在点E（15，25）处取得.

比较上面两种方法，不难发现：两种解法的解题思路相去甚远，一种是从代数的方向，使用柯西不等式；而另一种则是从几何的方向，使用点到直线的距离公式.然而不论是最终的结论与还是中间的解题过程，两种方法都是完全相似的.

那么，柯西不等式和距离之间是否有某些联系呢？能否用柯西不等式证明平面内一般性的点到直线的距离公式？空间上有点到平面的距离公式吗，如何定义？

在高中数学必修二中，课本采用平面解析几何的方式，求出过已知点垂直于已知直线的新直线的方程，再运用方程的思想，联立方程组，求两相交直线的交点坐标，最终运用两点的距离公式得到点到直线的距离公式：平面上的点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0（a，b不全为0）的距离为d=|ax0+by0+c|a2+b2.然而，此方法虽然思路简单，但证明过程却非常繁琐.下面笔者将运用柯西不等式证明平面上点到直线的距离公式.

三、运用柯西不等式类比导出点到平面的距离公式

我们知道柯西不等式不仅仅适用于二维的情况，三维乃至n维它仍然适用.由于高中阶段对三维空间上的立体几何也有比较高的要求，因此下面重点应用三维的柯西不等式，得到类似于平面上点到直线距离公式的新的空间上点到平面的距离公式.

四、点到平面的距离公式在立体几何中应用

立体几何在高中数学中起着非常重要的作用，其中立体几何题又是高考必考题.那么，上面得到的公式，是否能在研究立体几何题中起到作用，帮助我们行之有效地解题？回顾2010年全国各地高考真题，笔者发现证明平行与垂直、求距离与角、求体积与表面积是立体几何考题的基本模式.如果点到平面的距离公式能解决其中某个或某些问题，那么它本身就有了价值.下面就其中几道题目进行简要说明.

以上三个例子都是以点面距离公式为载体，分别求解立体几何中点面距离、体积、线面所成角、线面垂直、线面平行等问题.应该说此公式适用性还是相当广泛的，它几乎能解决大部分的立体几何题目，因此可作为通式通法进行推广.