定积分中求曲边梯形面积的教学新设计

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【摘要】求曲边梯形面积是导出定积分概念重要引例，但是教材中对此块内容的讲解并不能让学生完全认可。本文先从一个简单求面积的实例出发，再对其进行推广，自然地导出一般曲边梯形面积的计算方法，这种方法在实践中得到了广大学生的认可。

【关键词】定积分 曲边梯形 面积

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0128-02

定积分是高等数学中最重要的两个基本概念之一。定积分的概念的产生与发展经历的很长时间，这也造成了概念本身的复杂性。现有一般的教材中定积分的概念基本上都是由求曲边梯形面积这一引例抽象出来的。但是，在教学中，学生对求曲边梯形面积主要有两点疑问：

（1）为什么求面积要使用“分割、取近似、求和、取极限”的这样一个非常复杂的方法，感到方法很陌生，很难以理解。

（2）经过上述步骤得到的是一个异常复杂的极限，教材中就把这个极限值“看成”或“理解成”或“定义为”所要求的曲边梯形的面积。实际上，通过对学生的调查询问，大多数同学并不完全认可这个结果，从而有可能导致对定积分整块内容的不认可。

上面的问题在现有的教材中均未给出很清楚的解释。本文试图从一个简单的具体例子出发，先让同学们认可这一结果，然后再进行推广。

1.曲边梯形简介

首先介绍一下什么叫做曲边梯形。

定义 曲线梯形是由连续曲线y=f（x），直线x=a，x=b及y轴所围成的图形，如图1所示。

我们的目标就是要求这个封闭图形的面积（注意是精确值）。这种不规则的图形的面积显然不能用初等公式得到结果。下面我们从一个简单例子开始。

2.一个简单例子

实例 求曲线y=x2、直线x=1及y轴所围成的图形的面积。

显然，本例的图形可看成为曲边梯形的一个特例。我们仍可采用“分割、取近似、求和、取极限”这样的步骤进行计算，将其中具体的细节（如分割的方法、取近似的值）具体化，经计算得到图形的面积，最后再加以推广。下面介绍这个特殊图形的具体方法。

3.第一种方法

先按上述四个步骤进行第一次计算。

（1）分割：在闭区间[0，1]内插入n-1个分点，等份，则长度为1的区间被分成了n份，每个小区间的长度为■；过区间中间的n-1个分点做垂线将图形进行分割，这样就得到了n个小图形，如图2所示。

（2）取近似：取每个小区间左端点的函数值为矩形的高，以每个小区间长度（都为■）为矩形的底构造n个（实际上是n-1个）矩形，用它们来近似相应的窄曲边梯形的面积（如图2所示）。

（3）求和：将上步的n-1个矩形的面积相加，

（■）2・■+（■）2・■+…+（■）2・■

=■

其和作为整个曲边梯形的面积的近似值。

（4）取极限：令各小区间长度■0，即n∞，计算上式的极限■■=■。

通过上述过程可见，经过此方法得到的式子的极限是存在的。那么自然而然的问题是：此极限值就是所求图形面积，还是比所求面积略大？

4.第二种方法

为了回答所提出的问题，下面我们将计算方法稍作改动，具体如下：

第二步将取左端点的函数值改为右端点，则得到的是n个矩形（如图3所示），其面积之和为

（■）2・■+（■）2・■+…+（■）2・■+（■）2・■

=■，

令n∞，即每小区间长度趋于零时，得极限值为

■■=■。

通过上面的两次计算，所提出的问题也有了答案，即我们要求的面积确为1/3。从而，我们得到了一个常识：在取极限时，当令每个小区间长度都趋于零时，得到的极限值即为所求面积，即按照这种方式取极限可以消除误差。

5.方法的推广

下面将上述两种计算方法进行推广，有如下两方面：

（1）取近似这一步取左端点还是右端点得到的结果是一样的，所以显然取小区间中任何一点得到的结果也应该是相同的。

（2）由上面得到的常识可知，区间的分割方法也不必要等份，我们可以采取其它的分法，只要能够取极限时使得每个小区间长度趋于零就可以了。

下面写出关于此例推广后的计算方法：

（1）分割：在闭区间[0，1]内任意插入n-1个分点0

（2）取近似：在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξ1，将以f（ξ1）为高，xi为宽的矩形面积近似看作第i个小曲边梯形的面积为值为Si（i=1，2，…，n），即Si≈f（ξ1）・xi。

（3）求和：将上步的n-1个矩形的面积相加，

S=■Si≈■f（ξ1）・xi；

其中S为所求面积。

（4）取极限：记λ=max{x1，x2，…，xn}，令λ0时，得到极限如下

■f（ξ1）・xi=■。

本文所讨论的简单实例的最终计算方法如上所述，结果为■。

6.一般曲边梯形面积的求法

有了关于上面的具体例子的计算方法，我们很容易就可以把这种方法及其符号推广到更一般的曲边梯形上，就得到了一般教材上给出的面积的求法，具体如下：

（1）分割：在闭区间[a，b]内任意插入n-1个分点a

（2）取近似：在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξ1，将以f（ξ1）为高，xi为宽的矩形面积（如图4所示）近似看作第i个小曲边梯形的面积为值为Si（i=1，2，…，n），即Si≈f（ξ1）・xi。

（3）求和：将上步的n-1个矩形的面积相加，

S=■Si≈■f（ξ1）・xi；

其中S为所求面积。

（4）取极限：记λ=max{x1，x2，…，xn}，令λ0时，可得到所求面积 为如下极限：

S=■■f（ξ1）・xi 。

7.结语

本文给出了学生在学习求曲边梯形面积时存在的两点疑问，经过多年教学探索，提出了一种新的、较细致的求面积的方法。先从一个简单的具体例子入手，然后将求解方法加以推广，最后应用到一般的曲边梯形上。上述方法可以很清楚的解释提出的两点疑问，并且能够使学生对此部分内容的理解更加透彻，对后面定积分的引入及应用起到了非常重要的作用。

参考文献：

[1]同济大学，高等数学（第6版），北京：高等教育出版社，2007.

[2]凌海生，定积分概念教学探讨，教育与职业，2008，589（21），93-94.