R—典型线性李代数为R—单李代数的充要条件

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摘要： 由于域上的典型线性李代数都是单李代数，而交换幺环上的典型线性李代数未必仍为单李代数， 而单李代数的结构分类对研究半单纯李代数的结构分类，以及可解、幂零李代数的研究至关重要， 在这里我们得出了交换幺环上典型线性李代数为R-单李代数的充要条件。

Abstract： Because the classical linear Lie algebra over a field is a simple Lie algebra， but the classical linear Lie algebra over a ring with identity may not still be a simple Lie algebra， and the classification and structure of simple Lie algebras is critical to the study of the the structure and classification of the semi-simple Lie algebra， even solvable， nilpotent Lie algebra， here we give the necessary and sufficient condition on which the R-classical linear Lie algebra is R-simple Lie algebra.

关键词： 交换幺环；R-典型线性李代数；R-单李代数

Key words： commutative ring with identity；R-classical linear Lie algebra；R-simple Lie algebra

中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）21-0280-02

0 引言

在域上的李代数中每一（有限维）李代数都同构于某个线性李代数（Ado-Iwasawa定理）见文献[2]由此可知线性李代数研究的重要性，尤其是典型线性李代数他们是除例外李代数外的唯一的单李代数（同构意义下）。本文中我们将得出交换幺环上的典型线性李代数为单李代数的充要条件及相关结论。本文中R为交换幺环。

1 R-典型线性李代数简介

Sln（R），SOn（R），SPn（R）被称为R-典型线性李代数（因为对应于某些典型线性李群）。本节中设Mn（R）为R上的n阶方阵的集合，其中的矩阵用M，N等来表示。

（1）设RankM=l+1=n，则Sln（R）={A∈Mn（R）|trA=0}称为R-特殊线性李代数。

（2）令SOn（R）={A∈Mn（R）|YA=-AtY}，设RankM=2l+1=n是奇数时，其中

Y=e■+■ei，n-i+2=1 0 00 0 I■0 I■ 0 （1）

SOn（R）称为正交代数。

（3）设RankM=2l=n是偶数时，其中SPn（R）={A∈Mn（R）|XA=-AtX }，

X=■ei，n-i+1-■ei，n-i+1=0 I■-I■ 0 （2）

SPn（R）称为辛代数。

（4）设RankM=2l=n是偶数时，其中

Y=■ei，n-i+1=0 I■I■ 0 （3）

SOn（R）称为正交代数。

2 R-典型线性单李代数

易知，在方括号运算[A，B]=AB-BA之下，sln（R），spn（R）son（R）均为R上的李代数。我们用L（R）表示它们中的任意一个李代数。若R是特征零的域，我们知道，L（R）是典型的单的线性李代数。对R是有1的交换环时，一般来说，L（R）不是单的。文献[3]讨论了L（R）的理想的状况。

直接验证可知，sln（R）的中心={aIn|a∈R，na=0}。当n=2r为偶数时，spn（R）的中心=son（R）的中心={aE|a∈R，2a=0}，其中E=Ir oror -Ir 。当n=2r+1为奇数时，son（R）的中心是零。

设N是环R的理想，πN：RR/N是自然环同态。对？坌a∈R，简记πN（a）=a。设A=（aij）n×n∈L（R），易知（aij）∈L（R/N）我们简记为（aij）为A。令λN：L（R）L（R/N）使得λN（A）=A。易知λN（[A，B]）=[λN（A），λN（B）]，λN（aA）=aλN（A），其中A，B∈L（R），a∈R。于是λN是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的满同态。

定义1[3] 设N是环R的理想，则称L（R）的理想

L（R，N）={A∈L（R）|λN（A）=0}

为水平N的极小理想。称L（R）的理想

ML（R，N）={A∈L（R）|λN（A）∈C（L（R/N））}

为水平N的极大理想。

定义 2[3] 设Ω为L（R）的理想，若存在R的理想N，使得L（R，N）？哿Ω？哿ML（R，N）

则称Ω为L（R）的一个标准理想。

定理1[3] sln（R）的任一理想Ω均为标准的。

定理2[3] 设2∈R*，则spn（R）的每个理想Ω都是标准的。

定理3[3] 设2∈R*，则son（R）的任一理想都是标准的。

注[3] ①若R是特征p的域，并且p|n，则sln（R）不是单的。但它的理想均含在其中心（aIn|a∈R）之内。所以这种情况仍适合本文的定理1。

②设R是有1的交换环，若2不属于R*，则spn（R）的理想未必都是标准的。

3 R-典型线性李代数是R-单李代数的充要条件

定理4下列条件彼此等价：

（1）L（R）为单；

（2）L（R，N）=ML（R，N）={0}；

（3）L（R，N）={0}且L（R）的中心为{0}；

（4）L（R）的中心为{0}。

证明：由（1）？圯（2），（3），（4），显然。

下面分别证明（2），（3），（4）？圯（1）

（2）？圯（1）若L（R，N）=ML（R，N）={0}，则KerλN={0}，所以λN（A）=■是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的同构。或者说因为L（R，N）=ML（R，N）={0}即标准理想全为{o}，说明典型R-线性李代数的理想全为{0}，当然是单的了。

（3）？圯（1）由L（R，N）={0}，知KerλN={0}，所以λN（A）=A是R上的李代数L（R）到L/N上的李代数L（R/N）的同构。又由L（R）的中心为{0}，知L（R/N）的中心为{0}，即C（L（R/N））={0}，又？坌A∈ML（R，N），？坌B∈L（R），由λN（A）=A∈C（L（R/N））={0}，得λN（[A，B]）=[λN（A），λN（B）]={0}，即[A，B]∈KerλN={0}，故[A，B]=0，即[ML（R，N），L（R）]={0}，故ML（R，N）？哿C（L（R））={0}。所以有，ML（R，N）={0}，故L（R）为单。

（4）？圯（1）因为KerλN？哿C（L（R）），且由L（R）的中心为{0}，可知KerλN={0}。再由（3）知，L（R）为单。

推论 1 若R为无零因子环，则L（R）为R-单李代数。

证明：因为sln（R）的中心={aIn|a∈R，na=0}，而R为无零因子环，所以na=0？圯a=0？圯sln（R）的中心为{0}，由定理4知，sln（R）为单。同理spn（R），son（r）当R为无零因子环时为单。

进一步，只需2，n不是零因子即有下面的定理。

推论 2 若2，n不是R的零因子，则L（R）为R-单李代数。

定理 5 若R为局部环，则L（R）为R-单李代数。

证明：λN：L（R）L（R/N）是同构。而P/N是域，L（R/N）是域R/N上的典型线性李代数。故L（R）为R-单李代数。

参考文献：

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[2]J. E.Humpherys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory[M].New York：Springer-Verlag，1972.

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