向量组线性相关性的判定

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇向量组线性相关性的判定范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】本文就向量组线性相关性的判定归为如下四种方法.一、用线性相关性的定义判别.二、用线性相关性的有关结论定理判别.三、用矩阵的子式判别.四、用向量组的秩判别.

【关键词】线性相关；线性无关；矩阵；秩

一、用线性相关性的定义判别

1.从预备知识中我们已经知道了线性相关性的定义，下面我就引入例题，用定义法来直接判断向量组的线性相关性.

2.线性相关性的定义常用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题则更常用.如果有非零解，则向量组线性相关；如果没有非零解（只有零解），则向量线性无关.

二、用线性相关性的有关结论、定理判别

1.设矩阵A的列向量组为A：α1，α2，…，αm，矩阵B的列向量组为B：β1，β2，…，βm， 其中矩阵B是通过对矩阵A做行初等变换后得到的.我们有以下定理：

定理 1向量组A与向量组B有相同的线性相关性.

定理 2向量组α1，α2，…，αm（m≥2）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示.

定理 3如果向量组α1，α2，…，αr线性相关，那么 α1，α2，…，αr，αr+1，…αm也线性相关.

推论1线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.

推论2r维向量组的每一个向量添加n-r个分量成为n维向量.如果r维向量组线性无关，那么，n维向量组也线性无关.反言之，如果n维向量组线性相关，那么，r维向量组也线性相关.

三、用矩阵的子式判别

1.用矩阵的子式判别首先就要知道什么叫矩阵的子式，下面介绍什么叫矩阵的子式：

定义k阶子式：在m×n型的矩阵A中，任取k行k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶矩阵行列式，称为矩阵A的k阶子式.m×n型矩阵A的k阶子式共有m

knk个.

则向量组A线性无关的充分必要条件是矩阵A中存在一个不等于零的r阶子式.

我们可以进一步得出，设α1，α2，…，αm是n维行（或列）向量（m≤n），将其按行（或列）排成m×n（或n×m）矩阵A，若A的所有m阶子式都为零，则α1，α2，…，αm线性相关；若A中由一个m阶子式都不为零，则α1，α2，…，αm线性无关.

四、用向量组的秩判别

用向量组的秩判别（向量组的秩可以转化为求矩阵的秩），设向量组R（α1，α2，…，αm）=r， 则当r

推论3n个n维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的n阶矩阵的行列式不等于零.

推论4当m>n时，m个n维向量α1，α2，…，αm必线性相关.

以上四种方法选择哪一种则要因题而异，如果是简单的理论证明则选第一种方法，如果向量组组成的矩阵数比较简单则可用子式来判别.

【参考文献】

[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数. 第四版.高等教育出版社.

[2]陈芳，徐仲，等.高等代数.第三版.西北工业大学出版社.

[3]数学教育网.

[4]北京大学数学系几何与代数研究室.高等代数.第二版.