浅析二次函数在高中阶段的应用

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初中教材中，就对二次函数有一定程度上的涉猎。由于初中学生基础薄弱，接受能力有局限性。因此，二次函数学生们只是机械了解，没有从本质上理解掌握。在高中阶段，学生们应掌握二次函数的基本概念和基本性质（函数图像及其一些性质），并且能够灵活应用。

二次函数 高中阶段 灵活应用

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为？（x）=ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知（x）=2x2+x+2，求（x+1）

这里不能把（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设（x+1）=x2-4x+1，求（x）

这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

把所给表达式表示成x+1的多项式。

（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得

（x）=x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b/2a及\[-b/2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1

（2）y=|x2-1|

（3）=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ

设（x）=x2-2x-1在区间\[t，t+1\]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出y=g（t）的图象

解：（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈\[t，t+1\]即0≤t≤1，g（t）=-2

当t＞1时，g（t）=y（t）=t2-2t-1

当t＜0时，g（t）=y（t+1）=t2-2

t2-2，（t

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2-2t-1，（t>1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。

（1）+1=t2-6t+6从而？（x）=x2-6x+6

二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数g（x）=ax2+bx+c（a>0）方程g（x）-x=0的两个根X1，X2满足0

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明x

（Ⅱ）设函数g（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2.

解题思路：

本题要证明的是x

（Ⅰ）先证明x

因为0

根据韦达定理，有x1x2=ca

0＜x1＜x2

g（0）

根据二次函数的性质，曲线y=g（x）是开口向上的抛物线。因此，函数y=g（x）在闭区间\[0，x1\]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于g（x1）>g（0），所以当x∈（0，x1）时g（x）

即x

（Ⅱ）略

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。