问题变式――探究性复习的前奏
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浙江杭州师范大学附属中学 310030
摘要：本文由一道高考题出发，根据问题变式的几种常见形式，探讨了变式教学在引导学生进行探究性复习时所起的作用.
关键词：变式；探究；教学
探究是数学问题探讨的重要手段，是新课改的最“强音”. 问题变式是探究学习的向导，问题变式常见的形式有：正向变式（变更命题的结论，可以是纵向也可以是横向）、逆向变式（即逆命题）、类比引申或拓展等. 变式教学是培养学生探究能力的有效途径，学生在问题变式的探究过程中，通过对问题的反思、回顾、总结、概括与提炼，构建起自己的知识体系． 本文期望通过对一道高考试题的变式剖析教学引导学生进行探究性复习.
问题再现（2007全国）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则
等于（）
A． 9B． 6C． 4D． 3
解析设A，B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）. 由条件++=0可知点F为三角形ABC的重心，所以x1+x2+x3=3. 再由抛物线的焦半径公式得：
=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）=6，所以选B.
这是一道设计短小精悍、构思新颖独特的高考试题. 从试题的结构上看，和谐对称，让人耳目一新；从试题的内容上看，看似平淡，其实内容丰富而充实，是以向量为载体，精心考查圆锥曲线焦点弦性质的一道好题. 在我们的教学中可以引导学生由浅入深、变式变形、深化推广、引申创新，从不同的角度、不同的方位去探究，从而达到举一反三、触类旁通的复习效果．
探究1（问题一般化）（1）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则
为定值3p.
（2）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，P1，P2，…，Pn为该抛物线上n个点，若++…+=0，则
为定值np.
探究2（逆向变式）原命题的逆命题是否成立？答案是成立的. 即设F为抛物线y2=2px（p>0）的对称轴上一点，A，B，C为抛物线上三点，若
为定值3p，则
=0.
探究3（变更条件）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，O为坐标原点，且++=3，则
为定值3p.
证明 由条件++=3易知焦点F为三角形ABC的重心，所以
为定值3p.
探究4（类比引申）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若+2+3=0，则
=.
解析设A，B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）. 由+2+3=0
⇒（x1－1）+2（x2－1）+3（x3－1）=0⇒x1+2x2+3x3=6，由抛物线的焦半径公式得：
=（x1+1）+2（x2+1）+3（x3+1）=12.
探究5（纵向拓展）（1）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A，B，C为抛物线上三点． O为坐标原点，若++=0，则
2的最小值为3p2.
（2）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A，B，C为抛物线上三点． O为坐标原点，若++=0，则++的最小值为.
证明（1）由上面可以得到
=3p，而
（2）易证不等式（
而
探究6（类比拓展）设F为椭圆+=1（a>b>0）的一个焦点，A，B，C为椭圆上三点，且++=0，则
为定值3a（1－e2）.
证明不妨设F为椭圆的右焦点，设A，B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）. 由++=0可知F为三角形ABC的重心，所以x1+x2+x3=3c，再根据椭圆的焦半径公式得：
=（a－ex1）+（a－ex2）+（a－ex3）=3a－e（x1+x2+x3）=3a－3ec. 探究6在双曲线中同样也成立.
探究7（类比引申）设F为椭圆+=1（a>b>0）的右焦点，A，B，C为椭圆上三点，且++=0，且记A，B，C到椭圆右准线的距离分别为d1，d2，d3，则d1+d2+d3为定值3a
=3a（1－e2），又由椭圆的第二定义得到：d1+d2+d3===3a
－e，该值为定值.
探究8（再度拓展）（1）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A，B，C为抛物线上三点． O为坐标原点，若++=0，OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S＋S＋S为定值p4.
（2）设F为抛物线y2=2px（p>0）的焦点，P1，P2，…，Pn为该抛物线上n个点，若++…+=0，且OFP1，OFP2，…，OFPn的面积分别为S1，S2，…，Sn，则S＋S＋…+S为定值p4.
证明（1）设A，B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）. 由++=0
所以S＋S＋S=（y＋y＋y）=（2px1+2px2+2px3）=p4.
从学生熟悉的问题出发，以“问题驱动”为线索进行问题变式教学，引导学生根据“问题链”进行探究学习，一气呵成、层层递进，既让学生体验成功探究的喜悦，又让学生在探究中培养创新的能力. 这样多层次、多角度地思考问题，把单薄的知识的线性关系系统化，织成较宽的知识面，提高学生分析问题和解决问题的能力.
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