包装纸箱中的数学问题

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇包装纸箱中的数学问题范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

某种产品的形状是长方体，它的长、宽、高分别是16 cm、6 cm、3 cm. 请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装30件这种产品，且该纸箱所用材料尽可能少.

【分析】（1） 先从含2块小长方体的包装纸箱考虑：

从表格中可以看出，方案1的表面积最小（所用材料最少）.

观察图4至图6，可以发现：如果相同小立方块的数量一定，当其重叠部分面积较大时，包装纸箱的表面积较小.

观察上面的表格，可以得出结论：在包装纸箱外观尺寸中，当长、宽、高的和较小时，包装纸箱的表面积较小.

（2） 再考虑含10块小长方体的包装纸箱的情形.

小长方体分别摆放为1层（方案4到方案7）、2层（方案8到方案9）、5层（方案10到方案11）、10层（方案12）. 当小长方体分别摆放为1、2、5层时，包装纸箱长与宽越接近，表面积越小. 因为16>6，也可以说横向摆放多于纵向摆放时包装纸箱的表面积较小（即16乘以较小的数，6乘以较大的数）.包装纸箱的长、宽、高是由小长方体的块数和摆放方式确定的. 于是将小长方体的块数10因数分解：10=1×1×10=1×2×5. 显然这三个因数可以分别与16、6、3相乘，作为包装纸箱的长、宽、高. 但因为16>6>3，所以在乘因数时，按照从小到大的顺序来确定. 当按方案8和12摆放时，得出的包装纸箱的长宽高的和最小，故此时包装纸箱的表面积最小（用料最少）. 即在包装纸箱外观尺寸中，当长、宽、高的和较小时，包装纸箱的表面积较小.

（3） 由以上两种情形得出的经验来解决30块小长方体块包装的问题.

首先30=1×1×30=1×2×15=1×3×10=1×5×6=2×3×5.

其次对包装纸箱的长、宽、高求和：（Ⅰ）16×1+6×1+3×30=112，（Ⅱ）16×1+6×2+3×15=73，（Ⅲ）16×1+6×3+3×10=64，（Ⅳ）16×1+6×5+3×6=64，（Ⅴ）16×2+6×3+3×5=65.

因为64最小，所以包装纸箱的长、宽、高分别为16、18、30时用料最少，只是Ⅲ、Ⅳ两情况下小长方体的摆放方式不同.

【变式应用】（1） ①市场上有某种型号的肥皂，可看作是长、宽、高分别是16 cm、6 cm、3 cm的长方体，请你为肥皂设计一个包装盒.②继续思考：如果有30块这样的肥皂，请你设计一种包装纸箱，要求该纸箱所用的材料尽可能少.

（2） 有10盒长12 cm、宽8 cm、高3 cm的长方体录音磁带，要将他们包装在一起，要多大的包装纸？怎么样包装最节省包装纸？（包装纸的重叠部分不计）

【分析】（1） ①长方体的三视图都是长方形，只需计算出每个视图的面积再乘以2即可，这与长方体的表面积公式是吻合的，在不计接口和损耗的理想状态下，包装纸的面积应为：（16×6+16×3+6×3）×2=324（cm2）.

②利用上题的结论可知包装纸箱同一顶点三条棱分别为16 cm、18 cm、30 cm时表面积最小，此时表面积为（16×18+16×30+18×30）×2=2 616（cm2），只是肥皂的摆放方式有两种：其一让纸箱16×18作底，横向排3块再向上摆10层；其二让纸箱16×30作底，横向排5块再向上摆6层.

（2） 10=1×1×10=1×2×5，包装后的长方体的同一顶点三条棱分别为12 cm、8 cm、3×10 cm或同一顶点三条棱分别为12 cm、8×2 cm、3×5 cm时表面积较小，又12+8+3×10=50，12+8×2+3×5=43，而50>43，故横向排2个，再向上摆5层时包装最节省包装纸. 此时用纸为（12×16+12×15+16×15）×2=1 224（cm2）.

【总结】此类生活问题的解决需理论联系实际，运用发现规律、应用规律、以简代繁的思想方法，同时考查了分类思想以及思维的缜密性.

数学与生活的联系可以用密不可分来形容，“源于生活，服务于生活”才是数学学习的最终目的和最高境界！