注重解题后的反思,探究问题本质

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题目：双曲线■-■=1的两个焦点F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为______。（2001年高考理科数学试题第14题）

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=

|F1F2|2。

即m2+n2=100，又因为|m-n|=6，所以mn=32。

又由SF1PF2=■|PF1|・|PF2|=■・2c・|y0|，所以

|y0|=■，即P点到x轴距离为■。

解题后还要“画龙点睛”，必须从问题类型归类到解决问题的方法进行反思和总结，这样使学生“知其然，且知其所以然”。根据上面题目常规解法为例，我们可以得到如下反思和结论。

结论1 椭圆■+■=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，当∠F1PF2=α时，F1PF2的面积S=b2tan■。

证明：设|PF1|=m，|PF2|=n，则SF1PF2=■mnsinα，由椭圆定义得m+n=2a。

又由余弦定理得：4c2=m2+n2-2mncosα=（m+n）2-2mn（1+cosα）=4a2-2mn（1+cosα）。

从而有mn=■=■。

将此式代入S=■mnsinα，

得：S=■=b2tan■。

注意：当点P在短轴上时，F1PF2的面积最大，α也最大。

结论2 双曲线■-■=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，当∠F1PF2=α时，F1PF2的面积S=b2cot■。

以上两结论实质上是建立了F1PF2的面积S与两焦点F1、F2对曲线上一点P的张角α的函数关系式，因此可利用它们解决椭圆和双曲线中与张角有关的下列一些问题。

一、已知张角求点P的坐标

例1 （2000年全国理14题）椭圆■+■=1的两焦点为F1、F2，P为椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为_______。

解：设P（x，y），由结论1知，S=b2tan■=c|y|，

|y|=■tan■。

α=∠F1PF2为钝角，tan■>1。

|y|>■，由椭圆方程■+■=1，得x2=9（1-■）。

|y|>■，y2>■，x2>9（1-■・■）=■，-■

二、求张角的最大值或张角的范围

例2 已知椭圆■+■=1的两焦点为F1、F2，P为该椭圆上一点，求∠F1PF2的范围。

解：当P不在长轴上时，由结论1知：S=b2tan■≤■・2c・b，

tan■≤■=■=■，又0

当P在长轴上时，即α=0，所以α的取值范围是[0，■]。

三、已知张角求离心率的范围

例3 若椭圆■+■=1（a>b>0）上存在一点P，使∠F1PF2=120°，求椭圆离心率的范围。

解：设P（x0，y0），由结论1知，SF1PF2=b2tan■。

|y0|≤b，tan■=■=■・■・2c・|y0|=■|y0|≤■。

tan■≤■，即■≥■，所以■≤e

总而言之，解题是围绕数学问题展开探究学习的过程，它以数学知识为载体，本着“提高数学解题技能，培养数学分析能力，深化数学思维品质”的目的，从分析数学问题、解决问题的过程中感受“探究”的魅力，增强“探究”的意识，学会“探究”的方法。

（作者单位：湖南省耒阳市第二中学）