结构引导思路 数据指导解题
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“等”与“不等”是自然界中存在的两种基本数量关系.
在高中数学中，基本不等式被广泛地运用于不等式证明问题，
是解决最值、恒成立等问题的重要工具.
其实质是以“不等”为代价，
建立起“加法”与“乘法”之间的“结构变换”关系.
亲密的“不等家族”
翻开人教版数学教材必修⑤第三章《不等式》，我们首先看到公式a2+b2≥2ab （a，b∈R）（记作公式①）.
如果用■，■分别替换a，b，就生成了第二个基本不等式a+b≥2■（a，b∈R+）.整理a+b≥2■可得■≥■（a，b∈R+），两边平方可得ab≤■2 （a，b∈R）（记作公式②）.
如果把①式写成ab≤■，对照②式ab≤■2，我们自然会产生一个疑问：既然■与■2都不小于ab，那它俩究竟谁更大呢？由■-■2=■≥0可知■≥■2（a，b∈R）（记作公式③）.
现在，我们用图1总结这几个公式之间的联系.它们之间有的是等价变形关系，有的是特殊替换关系.这些公式都可以独立运用，其中，公式①②③的使用频率更高些.那么，我们该如何恰当地选用这些公式呢？
蕴含在结构和数据中的
“摩斯密码”
要解决和基本不等式有关的问题，关键是如何选用合适的基本不等式.只有明确“所求的目标”，才能决定“用什么公式”.当然，我们必须首先弄清这些公式究竟“能做什么”.
为了理解这些公式的意义，我们需要对它们进行“具象化”处理.
例如对于公式①a2+b2≥2ab，代入x2+1，y-1，就变成（x2+1）2+（y-1）2≥2（x2+1）（y-1）；代入2m-3n，4t+5s，就变成（2m-3n）2+（4t+5s）2≥2（2m-3n）（4t+5s）.你甚至可以将它变成“（喜羊羊）2+（灰太狼）2≥2（喜羊羊）·（灰太狼）”.所以，公式①可以表示为2+2≥2··，它的功能是在“两数平方和”和“两数之积”之间建立起一种不等的结构关系.
同理，我们还可以推断出另外两个公式传达的结构关系和特殊功能.
公式②ab≤■2可以表示为·≤■2， 解决“两数之积”与“两数之和”的关系问题.
公式③■≥■2可以表示为■≥■2，解决“两数平方和”与“两数之和”的关系问题.
现在我们来看第一个问题串.
已知实数a，b满足a2+b2=1，求ab的最大值.
从结构上看，题目已知2+2的值，要求·的值，这是“两数平方和”与“两数之积”的关系问题，故可用公式①求解：由a2+b2≥2ab得ab≤■=■，当且仅当a=b=±■时，ab有最大值■.
已知正数a，b满足a+b=1，求ab的最大值.
从结构上看，题目已知+的值，要求·的值，这是“两数之和”与“两数之积”的关系问题，故可用公式②求解：因为ab≤■2=■且a，b为正数，故当且仅当a=b=■时，ab有最大值■.
已知实数a，b满足a2+b2=1，求a+b的最大值.
从结构上看，题目已知2+2的值，要求+的值，这是“两数平方和”与“两数之和”的关系问题，故可用公式③求解：由■2≤■=■可得-■≤a+b≤■，当且仅当a=b=■时，ab有最大值■.
观察图1，我们还发现了一个容易让人忽略的细节——所有公式中都含有数据“2”.这又能给解题带来什么启示呢？请看第二个问题串.
已知a，b，c>0，求证：（a2+b2）（b2+c2）（c2+a2）≥8a2b2c2.
结合上面提到的数据“2”，不等式右边的“8”不免让人联想到了“8=2×2×2”，而不等式左边的三个因式恰好为乘积关系“（）·（）·（）”.
从结构上看，不等式左边包含了三个平方和a2+b2，b2+c2，c2+a2，右边的8a2b2c2为乘积形式，所以这是有关2+2与·的问题，应选用公式①来解决.由于在公式①中，a2+b2对应的是2ab，故不等式右边的8a2b2c2应该相应地调整为（2ab）·（2bc）·（2ca），这样a2+b2，b2+c2，c2+a2就能与2ab，2bc，2ca一一对应了.（a2+b2）·（b2+c2）·（c2+a2）≥（2ab）·（2bc）·（2ca）=8a2b2c2，问题得证.
已知a，b，c>0，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
从结构上看，这是有关2+2与·的问题，应选用公式①.但式子中没有数值“2”，能否创造出“2”呢？不妨对不等式两边同乘以2，得到2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，这不就等价于把a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca三式左右分别相加么？事实果然如此.
已知a，b>0，求证：（a+b）■+■≥4.
数值“4”让人联想到“4=2×2”，这是否暗示着“4”是由两个不等式相乘得到的呢？由于a+b≥2■，■+■≥2■，而（2■）·2■=4，故（a+b）■+■≥4.
由于公式①②③中都含有数据“2”，所以对于2n或2n这类数据，我们不妨猜测该数据可能意味着的运算关系.如果题中没有出现与“2”有关的数据，也可尝试构造这样的数据，使它满足基本不等式的使用场景.
解题中的运用
例1 若正数a，b满足a+b=1，求证： ■+■≤2■.
解析： 例1的奇怪之处在于不等式右边没有a，b，难道因为a+b=1是一个常数，就能使字母a，b遁形吗？怎样才能在不等式右边添上a+b呢？
观察不等式的结构，我们发现，只有让“困”在不等式左边根号里的a，b“跑”出来，才能出现a+b的形式，即应先对■，■分别平方，然后相加.
所以这是一个有关+与2+2的问题，选用公式③：由■2≤■=■=2，可得 ■+■≤2■，不等式得证.
点评： 对于基本不等式问题，应在了解三个基本不等式对应的结构关系的基础上，分析题目要解决的是哪类结构关系问题，再选择与之匹配的基本不等式解题.
例2 已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：■-1·■-1·■-1≥8.
解析：不等式右边的“8”到底是代表“8=2×2×2”还是“8=2+2+2+2”呢？由于不等式左边为三个因式连乘的形式，故果断选择前者.
考虑到公式①②③中只有“加法”没有“减法”，该如何化减为加呢？利用条件a+b+c=1，可得■-1=■-1=■+■，■-1=■+■，■-1=■+■.将■+■≥2■，■+■≥2■，■+■≥2■三式左右分别相乘，不等式得证.
点评： 对于具有2n或2n这类显著数据特点的问题，可以联想该数据可能对应的运算关系，再分析题目的结构，选择相应的基本不等式求解.
例3 已知x，y∈R+，且x2+■=1，则x■的最大值是 .
解析： 例3粗看似乎是2+2与·的问题，进一步观察结构，由于题目条件中有x2，故可调整所求目标x■为■.又条件中含有■，故可继续调整■为■·■.
这样看来，我们应该把x2，■+■看成两个独立的“单元”，这实际上是个有关·与+的问题.选用公式②：■·■≤■·■=■■，当且仅当x2=■+■=■时，x■有最大值■■.
点评： 对问题中结构的分析不能浮于表面，要结合条件进行“拼凑”和“搭建”，寻找两个“单元”之间真正的运算关系.
“拼凑”和“搭建”并不是死板的，有时候，从不同的角度分析同一个问题，会发现不同的结构关系，需要用不同的基本不等式求解.在例3中，把所求目标转化为■·■后，可以回头调整条件x2+■=1，使之变成x2+■+■=■，这样就成了有关2+2与·的问题，可以用公式①求解了.
基本不等式的运用是结构与数据交织权衡的艺术，真可谓：
观乎基本不等式，
思路常在题目中.
结构关系是要识，
数据特征藏良策.
【练一练】
（1） 已知实数a，b，c，d满足a2+b2=1，c2+d2=1，求证： ac+bd≤1.
（2） 若x，y∈R+，则使不等式■+■≤a■恒成立的a的最小值是 .
（3） 设a>b>c，且■+■≥■恒成立，则实数m的取值范围是 .
【参考答案】
（1） 证明： 由于ac+bd≤ac+bd，故只要证明ac+bd≤1即可.因为a2+b2=1，c2+d2=1，所以这是有关2+2与·的问题，选择公式①求解：ac+bd≤■+■=1.
（2） ■. （对■，■分别平方才能出现x+y，所以这是有关+与2+2的问题，选择公式③：由■2≤■可得■≤■，整理得■+■≤■·■，故a的最小值是■）
（3） （-∞，4]. （不等式左右两侧的分母恰好满足（a-b）+（b-c）=a-c.因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>0.对不等式两边同乘以a-c，可得■+■=2+■+■≥m.这是有关2+2与·的问题，选择公式①：■+■≥2■=2，所以m≤4）