双正交样条小波Petrov-Galerkin法在静电场的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇双正交样条小波Petrov-Galerkin法在静电场的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要: 以张量积形式构造高维双正交样条小波，结合petrov-galerkin方法应用于静电场的计算问题．使用小波函数特有的细分关系准确地计算小波积分，双正交样条小波的正交性和紧支性加快了计算速度．并采用添加外小波法降低了边界截断引起的误差．数值算例表明此方法具有求解精度高、计算速度快和单元数量少等优点．

关键词: 双正交样条小波；小波Petrov-Galerkin法；静电场

中图分类号:O242

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)06-0423-05

Application of Biorthogonal Spline Wavelet Petrov-Galerkin Method to the Electrostatic Field

ZHONG Qiuping，DING Xuanhao，WEI Xiaojing

(School of Mathematics and Computer Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract: High dimensional biorthogonal spline wavelet is constructed by the tensor product method. With a wavelet Petrov-Galerkin approach, biorthogonal spline wavelets were adapted to the computing of electrostatic field problems. Using the refinement equations for evaluating integrals of wavelets exactly, the orthogonal and compactly supported of biorthogonal spline wavelets could speed up calculating. In order to reduce the error caused by truncation on the boundary, wavelets on the domain boundary were added. The numerical results of this method showed desirable calculation precision, faster computing speed and fewer elements.

Key words: biorthogonal spline wavelets; wavelet Petrov-Galerkin method; electrostatic field

计算静电场问题的数值方法有有限差分法、有限元法、矩量法等．随着小波分析理论的发展，其应用越来越受关注，从最初应用于信号图像处理［1］发展到20世纪90年代应用于偏微分方程数值计算领域［2-4］．将小波分析应用于计算电磁学的研究引起人们关注，主要目的是在保持准确性的前提下，减少对计算机资源的占有，提高计算速度．主要方法是将小波与传统的数值方法相结合，如小波Galerkin法［5］，小波配点法［6］等．小波Petrov-Galerkin法［7-9］与小波Galerkin法的区别在于基函数的选取，小波Petrov-Galerkin法是以正交小波函数作为基函数，具体是将小波尺度函数作为近似函数，其对偶尺度函数作为检验函数．基函数的正交性简化了计算量，体现了小波Petrov-Galerkin法的优越性．徐跃生［9］对小波Petrov-Galerkin法进行了深入的研究，开展了该方法在求解二类积分方程问题．由双正交样条小波的紧支性得到的刚度矩阵是稀疏的，其带宽与选择的小波函数有关．由于小波函数特有的多尺度特性，还提供了另一种提高精度的细化算法，即在不改变网格剖分的前提下提高其分辨率就能提高精度，从而在相同精度条件下减少计算时间和速度．因此，可以根据求解精度的需要选择不同的分辨率．

本文采用小波Petrov-Galerkin法应用到静电场计算问题，并以张量积的形式构造二维小波基函数求解二维问题．由变分原理得到一个线性方程组，并基于文献［10］提出了一种基于小波函数的细分关系的计算方法计算相关的关联系数．在计算过程中体现了选择双正交样条尺度函数作为基函数的优点，其正交性可减少计算量，紧支性使刚度矩阵稀疏化．为了处理小波函数在边界截断及其振荡性引起的误差，本文在边界处采用添加外小波函数的方法［11］．数值算例验证了双正交样条小波Petrov-Galerkin法的正确性和有效性，同时也体现了该方法的灵活性，如外小波个数、分辨率的选取．

1 双正交样条多分辨分析

一阶基数B-样条是区间［0,1］上的特征函数，记为N1(x)=χ［0,1］(x)．d阶基数B-样条Nd(x)，（d≥2）定义为

Nd(x)=(Nd-1N1)(x)=∫0[KG-*3]1[KG-*3]Nd-1(x-t)dt.

对Nd(x)作平移得中心B样条：d(x)=Nd（x+d2）.d(x)及其对偶尺度函数d,d(x)都是紧支集．由d(x)和d,d(x)线性张成L2([WTHZ]R[WTBX])的闭子空间列{Vj}和{Vj}是一对双正交多分辨分析，其中Vj=Span{dj,k}，Vj=Span{d,d(x)[TX-]}，k∈[WTHZ]Z[WTBX]．其中

dj,k=2j/2d(2j・[KG-*3]-k)， d，dj,k=2j/2d,d(2j・[KG-*3]-k).(1)

满足双正交关系

(dj,k,d,dl,m)R=δj,lδk,m, k,m∈[WTHZ]Z[WTBX].(2)

且d(x)和d,d(x)的细分方程为

d(x)=∑l2 k=l1akd(2x-k), d,d(X)=∑l2 k=l1akd,d(2x-k).(3)

设一维尺度函数和生成L2([WTHZ]R[WTBX])的多尺度分析分别为{Vj}j∈[WTHZ]Z[WTBX]和{Vj}j∈[WTHZ]Z[WTBX]，则Vj与Vj张量积生成的序列V2j=VjVj构成L2([WTHZ]R[WTBX]2)上的二维多尺度分析，二维尺度函数表示为:

(x,y)=(x)(y)．(4)

2 小波Petrov-Galerkin法

考虑静电场问题

2.1 方程离散化

考虑问题(5)的二维情况，取双正交样条尺度函数在分辨率j下的一组基函数φ(x)∈Vj，设其在张量积空间V2j的基φ(x,y)=∑k∑lCk,l dj,k,l(x,y)为近似函数，由式(4)展开

φ(x,y)=2jk=02jl=0Ck,l dj,k,l(x,y)=2jk=02j[WT5.BX]l=0Ck,l d(2jx-k)d(2jy-l),(6)

其中，ck,l为φ在给定区域二分点的离散值，这是求解的未知数．取其对偶函数φ(x,y)=d,dj,p,q(x,y)为检验函数．对式(5)应用Galerkin法离散得

∫Ωφ[KG-*2]Δ[KG*4]・ε[KG-*2]Δ[KG*4]φdx=∫Γ-φρds,(7)

式(7)可以表示为矩阵形式

Ajc=fj,(8)

其中Aj和fj分别表示为

[HJ0.2mm][KG8]Aj=[ZK(]ε∫d2dx2(dj,k(x))d,dj,p(x)dx∫dj,l(y)d,dj,q(y)dy+

ε∫dj,k(x)d,dj,p(x)dx∫d2dy2(dj,l(y))d,dj,q(y)dy,[ZK)](9)

[KG8]fj=p ∫d,dj,p(x)dx∫d,dj,q(y)dy.(10)

引入矩阵记号

mx=∫d2dx2(dj,k(x))d,dj,n(x)dx,(11)

nx=∫dj,k(x)d,dj,n(x)dx,(12)

rx=∫d,dj,n(x)dx,(13)[HJ]

其中，k,l,p,q=0,1,…，2j．设my，ny，ry分别是将式(11)~(13)中的自变量x换成y，其它都不变．引入记号后，Aj=ε(mxny+nxmy)，fj=ρ(rxry)．记号AB表示矩阵A和B的Kronecker乘积［12］：AB=(aijB)，其中A=(aij)．

2.2 关联系数计算

为求解Aj和fj，须计算形如式(11)~(13)的关联系数．因为基函数是双正交样条尺度函数，由它的正交性知式(12)在R上的积分为：nx=1,k=n 0,其它，这就减少了计算量，也体现了小波Petrov-Galerkin法的优越性．因此，只需考虑式(11)和(13)的积分计算．对式(1)求二次导数得d2dx2dj,k(x)=22jd″j,k(x)．假设求解区域为Ω=［0,1］s，将式(1)及其导数代入式(11)和(13)，整理得

[WB]mx=22j[WT4]∑[WT5BX]2[KG*5]j[KG-*2]-1i=0∫10d″(x-k+i)d,d(x-p+i)dx=22j[WT4]∑[WT5BX]2[KG*6]j[KG-*2]-1i=0M(k-i,p-i).(14)

rx[KG-*3/5]=2-j2[WT4]∑[WT5BX]2[KG*6]j[KG-*2]-1i=0∫10d,dφ(x-p+i)dx=2[KG-*3]-j2[WT4]∑[WT5BX]2[KG*6]j[KG-*2]-1i=0R(p-i).(15)

其中，k,p=0,1,…,2j．则M,R都能表示

∫[WTHZ]Rχ［0,1)(x)(Dν1φ1)(x-α1)(Dν2φ2)(x-α2)dx(16)

这种形式．其中νi∈N，Dνφ表示对φ的ν次导数，[KG*5][WT12.]χ［0,1)(x)为特征函数也满足细分关系．

定理1［10］ 设细分紧支撑函数φ∈Cm0(Rn)，定义(V[KG*6]μ)α=(D[KG*6]μφ)(α)，α∈Zn，μ∈Nn0．则V[KG*6]μ=(V[KG*6]μ)α:α∈Zn是有限序列且满足

2-[KG-*6]μV[KG*6]μ=AV[KG*6]μ.(17)

[WT4]∑[WT5BX]α∈Zn(-α)μ(V[KG*6]ν)α=μ!δμ,ν,μ≤ν[KG-1]≤d,(18)

其中A=(Aαβ)α,β∈Zn，Aαβ=a2α-β．

由定理1知，利用式(3)的两尺度关系，M,R都能表示形如式(17)的特征值方程

[HJ1mm][WB]2-2M(α)=[WT4]∑[WT5BX]β∈Z2c2α-βM(β),(19)

[DW]R(α)=[WT4]∑[WT5BX]β∈Zd2α-βR(β).(20)

c和d分别为

[WB]c(α1,α2)=12(a-α1a-α2+a1-α1a1-α2),(21)

[DW]d(α1)=12(a-α2+a1-α2).(22)[HJ]

其中，a和a分别表示d(x)和d,d(x)的滤波系数．式(19)和(20)的系数矩阵是奇异的，因此，就要添加形如式(18)的条件才能得到唯一的非零解．且它们的解的非零元都是有限的，这是rx由基函数d(x)和d,d(x)的紧支撑性质决定．

由以上分析可知，矩阵mx是对角矩阵，nx为单位矩阵，向量rx的非零元也是有限的．其矩阵的带宽或非零元个数由所选取的双正交样条基函数确定．由此可知它们都是稀疏的，从而在计算过程中达到减少对计算机资源的占有，提高计算速度的目的．

2.3 边界处理

边界条件的处理类似于传统有限元法的处理方法，对于式(5)的边界条件φΓ=α代入式(6)得

2j[WT4][WT5BX]2jk=0[WT4][WT5BX]2jl=0ck,l d (2jx-k)d(2jy-l)=a.(23)

经过边界处理后得到的解的误差仍然很大，特别是在边界附近，这主要是由于基函数在边界处被截断引起的．为了降低误差，在边界处增加了外小波函数，设在边界两则外各引入的外小波数为n，则式(6)中的k的取值范围变为：k=-n,-n+1,…,2j+n-1,2j+n．

3 算例分析

为了验证双正交样条小波Petrov-Galerkin法的正确性和有效性，本节给出两个算例．基函数d(x)和d,d(x)均采用d=d=5．由该方法离散方程形成的刚度矩阵及荷载向量的大小由分辨率j确定，且区域剖分为(2j)s，其中s代表求解区域的维数．并采用平均误差e来说明由本文提供的算法与解析解或有限元解的差别.

e=12j+1∑2j+1i=1ui-(upg)i.(24)

其中，ui表示第i个节点的解析解或有限元解，(upg)i表示第i个节点的Petrov-Galerkin解．

算例1 求解无限大平行板间的静电场φ．一块板位于x=0处，φ=0V；另一块板位于x=1m处，φ=1V．两平行板间充满了介电常数为ε(F／m)的媒质，其间的电荷密度ρ=0(C/m3)．

此问题依据式(5)简化成二阶微分方程

对式(25)应用本文第2节的步骤求解．下面将从添加外小波的个数及分辨率j的选取进行比较．其中，表1是在相同分辨率j=3，外小波个数n分别取0,1,5在各个分点上的数值解，并给出相应点上的解析解作比较．图1是外小波取值都为n=5，分辨率j分别选取3和5与解析解作比较．

从表１可以看出，没有添加外小波时，其误差e相对来说比较大．特别是在边界附近，这是因为小波函数在边界处截断产生的，也与小波的振荡性有关．当添加外小波时就能较好地降低边界误差，同时，表1还说明了同外小波添加的个数n增大时，其误差e就会减小，但是n增大时计算量也增大．从图1的2个图形可以看出，j较小时其误差相对较大，j=5除了在边界两端外，其它基本与解析解一致．

算例2 一个正方形静电场域，电位函数为φ(x,y)满足方程x(εφx)+y(εφy)=0，其边界条件满足第1类边界条件φ(x,y)｜x=0=0,φ(x,y)｜y

=0=100,φ(x,y)｜x=1=0,φ(x,y)｜y=1=100．求其电位分布．

该问题应用本文的双正交样条小波Petrov-Galerkin法，添加外小波个数都为n=3．取定分辨率j，则其相应在x方向和y方向的剖分数为2j．为了更好地说明问题，将小波Petrov-Galerkin法与有限元法对比，有限元法计算该问题时取相同的剖分．将这2种方法计算结果进行比较，如表2和图2所示．表2表示分辨率j取不同值时这2种方法的误差e的比较．图2进一步说明它们的差别，其中x，y轴表示求解区域，z轴表示2种方法对应点的差．图3给出了分辨率j=3与j=5的电位分布.

从表2看到，分辨率j增大时，其相对于有限元解的误差e越小，因此可以根据精度的需要来选取分辨率j．从图2可以看出小波Petrov-Galerkin法与有限元法在边界附近差别较大，这与2种方法采用的基函数离散方法和对边界条件的处理方法有关．

4 结语

通过上面2个例子可以看出在静电场的计算中，双正交样条小波Petrov-Galerkin法求解是有效的．同时也说明了该方法具有灵活性，主要表现在外小波n及分辨率j的选取上．其中，外小波的方法降低边界附近的误差．分辨率j确定区域剖分的大小，当分辨率j增大时，其

相对于解析解的误差越小，这是选择小波函数作为基函数的一个优点．只需增大尺度层j就能达到加密剖分的效果．因此，可以根据精度要求选择不同的分辨率j．又由小波函数的紧支性及正交性得到稀疏的矩阵，从而节省了计算时间，加快了计算速度．同时也说明了小波Petrov-Galerkin法易于数值实现．

参考文献:

［1］杨道静, 丁宣浩. 基于小波分解的分形图像压缩算法研究［J］. 云南民族大学:自然科学版, 2009, 18 (2): 157-161.

［2］KUNOTH A.Adaptive wavelet schemes for an elliptic control problem with Dirichlet boundary control［J］. Numerical Algorithms, 2005, 39: 199220.

［3］JIA R Q. Spline wavelets on the interval with homogeneous boundary conditions［J］.Adv Comput Math, 2009, 30:177200.

［4］DAG I, SAKA B, AHMET B. B-spline Galerkin methods for numerical solutions of the Burgers’ equation［J］. Applied Mathematics and Computation, 2005, 166: 506522.

［5］石陆魁, 沈雪勤, 颜威利.小波插值Galerkin法解二维静电场中的边值问题［J］.河北工业大学学报, 2001, 30: 62-66.

［6］BAO G, WEI G W, Zhao S. A wavelet-collocation approach for computational electromagnetics［R］.2004-04-23.

［7］CHEN Z Y, MICCHELLI C A, XU Y S. Discrete wavelet PetrovGalerkin methods［J］, Advances in Computational Mathematics, 2002, 16: 128.

［8］HUANGM. A construction of multiscale bases for Petrov-Galerkin methods for integral equations ［J］. Adv Comput Math, 2006, 25: 7 - 25.

［9］CHEN Z Y, MICCHELLI C A, XU Y S. The Petrov-Galerkin method for second kind integral equation ΙΙ: multiwavelet schemes［J］. Advanced in Computational Mathematics, 1997, 7: 199-233.

［10］DAHMEN W, CHARLES A. Using the refinement equation for evaluating integrals of wavelets［J］. SIAM J Number Anal, 1993, 30: 507-537.

［11］LU D F, OHYOSHI T, ZHU L. Treatment of boundary conditions in the application of Wavelet-Galerkin method to a SH Wave Problem［J］. Akita University, 1996, 5: 15-25.

［12］金坚明, 徐应祥, 薛鹏翔. 最小支集样条小波有限元［J］. 计算数学, 2006, 28（1）: 89-112.