桥梁自激力的状态空间模型的时频特性
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摘要： 借鉴现代控制理论中对动态系统状态的描述方式，通过有理函数对颤振导数的近似表达而产生的自激力状态空间模型的具体列式依赖于有理函数的形式。为探究基于不同形式的有理函数的自激力状态空间模型的时频特性，选用工程上常用的有理函数的Roger格式和Karpel格式，以颤振分析中经典的具有理想平板断面的简支梁作为算例，对比了采用两种格式的自激力状态空间列式的颤振频域和时域分析结果。研究发现：两种格式的自激力状态空间模型均有较好的频域响应特性，相对而言基于Karpel格式的颤振分析结果对颤振导数拟合残差的改变更为敏感；两种格式的自激力状态空间模型有相同的时域响应特性，且气动状态初始条件的未知会带来颤振时域分析中结构响应的失真，通过限定表征自激力气动状态的气动系数的下限可以有效的解决该问题。关键词： 桥梁； 颤振； 状态空间； 时频特性
中图分类号： U441.3； TU311.3文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）02019908
引言
1940年美国塔克马桥在建成通车四个月后发生风致动力失稳，成为桥梁抗风研究的起点。桥梁风工程经过70多年的发展，桥梁颤振理论和分析方法日臻完善。目前工程上描述桥梁断面气动弹性效应的非定常自激力模型主要有：Scanlan提出的基于颤振导数的时频混合模型[1]，Lin提出的基于脉冲响应函数卷积积分模型以及Wagner提出的基于的阶跃响应函数的时域模型[2，3]。基于颤振导数的自激力模型的桥梁颤振分析理论虽然相对完善[4～6]，但无法应用于基于现代控制理论的颤振主动控制研究中。现代控制理论是以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础来分析与设计控制系统的，故颤振主动控制理论模型中必须将自激力在状态空间内实现表达。基于脉冲响应函数的自激力模型可以方便地实现自激力的状态空间表达，从而可以根据现代控制理论对动态系统的描述方式建立各种颤振控制措施的力学模型。
Roger和Karpel为实现机翼自激力的纯时域表达[7，8]，使用有理函数近似表达Theodorsen函数，并给出了依赖于有理函数形式的自激力脉冲响应函数的具体列式。在钝体空气动力学中颤振导数取代了流线断面Theodorsen函数，描述桥梁断面自激力的脉冲响应函数的具体列式则依赖颤振导数的近似表达式。就工程上常用的颤振导数的有理函数近似的Roger格式和Karpel格式而言，自激力脉冲响应函数的具体形式不尽相同，而由此决定的自激力状态空间模型的Roger格式和Karpel格式也不完全相同。谢霁明、Chen先后基于Roger格式的有理函数建立了多模态颤振分析的状态空间法[7，9]，Fujino基于Karpel格式的有理函数实现了状态空间内的二维桥梁颤振分析[8]。然而就自激力状态空间模型的Roger格式和Karpel格式的时频特性的研究却未有报道，而对两种格式自激力状态空间模型的时频响应特性的准确把握可以更好地指导该模型的工程应用，同时可以为后续颤振控制工作的提供有效的技术支撑。
本文首先介绍了基于状态空间表达的自激力模型及桥梁颤振的状态空间方程，讨论了自激力状态空间模型的Roger格式和Karpel格式的主要区别，以具有理想平板断面的简支梁为算例，探讨了两种格式的有理函数对应的自激力状态空间模型的时频响应特性。
1自激力的状态空间列式
第2期郭增伟，等： 桥梁自激力的状态空间模型的时频特性振 动 工 程 学 报第26卷Scanlan自激力模型虽然能很好地描述作用于钝体断面上的非定常自激力，但是其时频混合特性不适用于时域分析。基于颤振导数的有理函数近似表达式，可以方便地建立自激力的时域表达式。自激力状态空间模型的Roger格式和Karpel格式的主要区别在于：（1）在m相同的情况下，Karpel格式仅引入m个气动状态，而Roger格式则会引入3m个气动状态；（2）Roger格式中每个气动状态只对一个自激力分量产生影响，每个自激力分量都对应m项独立的气动状态且仅取决于该m项气动状态，而Karpel格式中每个气动状态会对所有自激力分量产生影响，且每个自激力分量受所有气动状态的影响。
2基于状态空间的桥梁颤振运动方程
桥梁结构在均匀流中的运动方程可以描述为M+C+KY=Fse （5）式中M，C，K分别为桥梁结构质量、阻尼、刚度矩阵；Y，，分别为整体坐标系下桥梁结构节点位移、速度、加速度向量；Fse为等效节点自激力向量。
3气动力系数的拟合
分离流的存在导致基于状态空间的自激力模型中气动参数需通过风洞试验进行识别，但由于自激力状态空间模型表达形式相对Scanlan颤振导数的表达形式复杂很多，气动参数的识别也相对困难，识别方法和技术也不成熟[10，11]，故通常情况下自激力状态空间模型中的气动参数是通过拟合相应的颤振导数得到的。
通过求解（7）最小值，即可得到气动力系数Ai，D，E，Λ，λi（i=1，…，3+m）。在采用非线性最小二乘法、共轭梯度法等优化算法时，式（7）的高度非线性使得拟合结果对气动力系数的初始猜想值很敏感，往往需要通过多次变换初始值，经过多次试算才能得到比较理想的拟合结果。鉴于此，本文尝试使用对初值无任何依赖的模拟退火算法求解式（7）的最小值[12]。模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态（是算法迭代的起点）无关，且具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率1收敛于全局最优解的全局优化算法。
4Roger格式和Karpel格式的时频响应特性自激力模型的频域响应特性是指结构最终的颤振临界风速和颤振频率，而时域响应特性则是指在颤振时域分析中自激力和结构的时域响应特性。通常情况下，自激力状态空间模型中的气动力系数是通过拟合相应颤振导数得到的，在完全精确拟合颤振导数的情况下，Roger格式和Karpel格式的自激力应该有相同的频域响应特性，即此时在频域内的颤振分析结果应该是一致的。然而在实际应用中不可能做到无残差的拟合颤振导数，故探讨两种格式的自激力状态空间列式的频率响应特性对颤振导数拟合残差的敏感性很要必要。同时桥梁颤振时域求解中涉及到系统初始状态的给定，虽然与结构相关的初始状态可以以假定的方式给出，但与此假定相对应的气动状态的初始条件则难以确定，这必然给基于自激力状态空间列式的颤振时域分析结果带来误差，故有必要针对自激力状态空间列式的时域响应特性展开讨论。
由于理想平板截面的简支梁具有可供参考的理论解，故采用该算例能更好地考察两种自激力状态空间列式的时频特性。该简支梁长L=300 m，宽B=40 m，两端扭转自由度均固定。平板断面竖向和横向弯曲刚度分别为EIz=21×1012 Pa・m4，EIy=18×1013 Pa・m4，扭转刚度GIt=41×1011 Pa・m4。每延米长度质量m=20 000 kg/m，质量惯矩Im=45×106 kg・m2/m，空气密度ρ=1225 kg/m3。分析时将简支梁划分成30个单元，结构模态阻尼比均假设为零，用Theodorsen函数的John近似表达式描述作用于简直梁上的自激力。
使用模拟退火算法并以式（7）为目标函数，对基于John近似表达式得到的折减风速[0，20]内的理想平板的颤振导数进行优化求解，得到如表1中理想平板自激力状态空间模型中的气动力系数。在优化求解中，取m=2，加权矩阵wRe，wIm均取为单位阵，除λl外所有气动力系数的初始猜想值均设为0，λl的初值均取为05。从表1中可以看出在初始猜想值相同，拟合残差相当的情况下优化得到的Roger格式和Karpel格式中对应的气动力系数中A1，A2，A3，λl基本相同。41频域响应特性
使用表1中的气动力系数对该简支梁结构的颤振问题在频域进行分析，计算结果列于表2，并与理论解及基于颤振导数的计算结果进行了对比。通过对比可见，两种格式下的两组气动力系数对应的颤振临界风速和颤振频率均与理论解基本一致，这表明本文基于状态空间的颤振分析方法是正确的。另外不难看出基于Roger格式分析结果更接近于基于颤振导数的颤振分析结果。
为探讨颤振导数拟合残差对Roger格式和Karpel格式的自激力状态空间模型的频域响应特性的影响，特通过预先设定颤振导数的有理函数拟合残差J的大小，并以此为优化目标拟合两种格式的有理函数中的气动力系数，然后在拟合残差相当的条件下比较两种格式的自激力状态空间模型的频域响应特性。需要说明的是为保证在拟合残差相当条件下两种格式对应的气动力系数的尽量相同，以排除由于两种格式中气动力系数自身的差异所导致的对自激力频域响应的影响，在拟合时选用的初始猜想值与优化表1气动力时相同的初始猜想值。
激力模型频域响应特性的影响，其中颤振临界风速和颤振频率的误差是相对于基于颤振导数求解得到的颤振临界风速和颤振频率而言的，而非相对于理论值。不难看出：（1）自激力状态空间模型的两种格式均有较好的频域响应特性，即便是拟合残差超过100时，两种格式的自激力状态空间模型的计算误差也均在6%以下；（2）虽然Karpel格式的自激力状态空间模型中引入气动状态个数是仅是Roger格式的三分之一，但相对而言基于Karpel格式的颤振分析结果对颤振导数拟合残差的改变更为敏感；（3）当拟合残差小于001时，两种格式的颤振分析结果与基于颤振导数的分析结果基本一致；在拟合残差超过001后，使用Karpel格式的自激力列式得到的颤振临界风速和颤振频率的误差出现明显的震荡（此时误差仍然较小），而直到拟合残差超过10以后，Roger格式对应的计算误差才急剧增大。
42时域响应特性
为考察自激力状态空间模型的两种格式的时域响应特性，特分别使用表1中给出的四组气动力系数，给定主梁所有节点的初始扭转角为1°，初始竖向位移001 m，气动状态的初始条件则均取为0，通过精细积分算法计算了在颤振临界风速下简支梁时程响应[14]。图2给出了在颤振临界风速下简支梁跨中竖向和扭转位移的时程响应曲线，从中可以看出：（1）自激力状态空间模型两种格式的时域响应特性完全相同，结构位移响应的均值在计算初始阶段出现“漂移”现象，而后逐步衰减，这主要是由于计算中假定气动状态零初始条件所造成的（气动状态合理的初始条件很难事先确定），由于反映自激力非定常特性的气动状态与结构响应相互依赖，在计算之初，虚假的气动状态会导致结构响应急速失真，随着计算时间的延长，气动状态得到结构响应的逐步修正，而在使用修正后的气动状态得到的结构响应也会逐渐趋于真实，这种气动弹性过程的描述会在计算中逐步的趋于合理，而结构响应也会逐步趋于合理；（2）虽然表1中四组气动力系数所表达的自激力有良好的频域响应特性，但由于计算时气动状态的初始条件未知，使用第II组系数描述自激力时，结构响应出现长时间失真。虽然经过足够长的时间，这种结构响应的失真现象会逐渐的衰减掉，最终趋向于真实的结构响应，但这必然大大降低计算效率，延长计算时间。
由于自激力状态空间模型的两种格式的时域响应特性完全相同，而Roger格式中气动状态有更为明确的物理意义，且能单独分离出来，故在以下选用Roger格式的气动状态加以讨论，寻找由于自激力气动状态初始条件未知所造成的结构响应失真的解决方法。在桥梁结构的颤振分析中，颤振临界状态是最为关心的。在临界状态下结构运动是纯粹的简谐振动，故可设与运动分量Δ（t）=sinωt（Δ=h，p，α）和自激力分量F（F=L，D，M）对应的Roger格式中的气动状态XFΔsel可表示为XFΔsel=AFΔl+3 ∫t-∞e-λlUB（t-τ）ωcos（ωτ）dτ=
从中可以看出，由简谐振动产生的表征自激力记忆效应的气动状态也表现出简谐振动的特性，其幅值及其与结构运动的相位差均依赖λl/K，而自激力对结构运动的记忆效应在该模型中表现为两者之间的运动相位差。对于固定的气动力系数（λl不变时），折减频率K越小，气动状态的振动幅值越小但与结构运动的相位差越大，即随着风速的增大，气动状态与结构运动的相位差逐渐增大的同时幅值有所减小；在折减频率不变的情况下，气动状态与结构运动的相位差随λl的增大而增大，而其幅值则随λl的增大而减小。
5结论
本文总结了工程上描述桥梁断面气动弹性效应的非定常自激力模型，指出了采用Roger格式和Karpel格式的自激力状态空间模型在气动状态描述上的主要区别在于Roger格式引入的气动状态数量是Karpel格式的3倍，但Roger格式中气动状态有更为明确的物理意义。通过对具有理想平板断面的简支梁经典算例的颤振分析发现：
（1）状态空间表达的自激力模型的两种格式均有较好的频域响应特性，即便是拟合残差超过100时，两种格式自激力模型对应的计算误差也在6%以下；相对而言基于Karpel格式的颤振分析结果对颤振导数拟合残差的改变更为敏感；
（2）两种格式对应的自激力列式的时域响应特性完全相同；但由于计算时气动状态的初始条件未知，使用具有良好的频域响应特性的气动力系数进行颤振时域分析时结构响应可能会明显失真，可以通过限定自激力气动状态的气动系数的下限有效解决该问题。
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