有关初中数学动态几何问题的思考

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【摘要】动态几何这类问题，已成为初中生他们日常学习中的重难点以及考试中的失分点。本文将通过一些具体的实例重点介绍初中动态几何问题的分类、特点以及解题方法，并对这类问题进行归纳与总结，从解决几个典型例子中找出解决初中动态几何问题的一般规律，帮助他们解决数学的一大障碍，驱逐其畏惧心理，恢复广大初中生对数学学习的信心。

【关键词】初中数学 动态几何 运动规律

动态几何问题是研究空间与图形之间的关系问题，初中动态几何问题教学有助于培养学生的空间想象能力和空间思维能力，提高学生分析和解决问题的能力。动态几何问题是初中数学考试的一大难点，它要求学生们获取信息和处理信息的能力特别高，它能全方位的考查学生的操作实践能力，空间想象能力以及分析和解决问题的能力。很多中学生对动态几何问题有一种畏惧感，当看到一个动态几何问题时，往往不知道从何下手，难以落笔，因此研究动态几何问题意义重大。

一、动态几何问题的分类

动态几何问题主要有动点、动线、动面三方面的问题。其中动点问题又分为单动点和双动点两种类型，动态几何问题主要是以几何图形为载体，函数为背景，运动变化为主线，聚多个知识点为一体，集多种解题思想的一种题型。这类题综合性很强，能力要求比较高，无论是动点、动线问题，还是单动点、双动点问题，我们都要学会如何在动中求静，在静中求出解，找到相应的关系恒等式，设法把想知道的含自变量的关系式表现出来。

二、动态几何问题的特点

动态几何问题主要特点是图形关系复杂、变化多种多样。它是以运动的观点去解决几何图形的变化规律的问题， 是以几何知识和几何图形为背景， 通过点、 线、面、体的运动和图形的变换， 渗透运动变化观点的问题，按运动形式可分为平移、 旋转、 折叠和滚动， 按运动的图形又可分为点动、线动、 面动与体动几类。动态几何问题往往集几何、 数与式、方程与函数于一身， 具有极强的综合性， 涵盖了丰富的数学思想与方法—数形结合、动中有静、 静中含动， 能较好地锻炼学生的空间想象能力与演绎推理能力。

三、动态几何问题的解法

解决动态几何题的关键是通过观察，对几何图形运动变化规律进行分析，发现其中的“变量”和“定量”。动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变量；动静相互转化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情况，从而找到“动与静”的关系，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类问题，要善于发现图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特点，化动为静，以静制动。运动型试题需要用变化与运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的变量关系和等量关系，特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。

1、多方面考虑问题，以不变应万变

不少同学之所以害怕动态几何问题，除了它的图形比较复杂之外， 主要原因就是因为它总是在变化之中的， 学生无法看透“动态”去抓住解答问题的关键所在， 全方面考虑和“动中取静”是解决这类问题的重要方法。

例1：如图，四边形ABCD 和四边形AEFC都是正方形， 连接BC与DE相交于H点

（l） 试证明：ΔABG≌ΔADE ；

（2） 请猜想∠BHD的度数， 并说出理由；

（3） 将图1中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0

分析：第（3）小题是动态几何问题，正方形ABCD绕点A 逆时针旋转， 旋转角大于0而小于180。正方形在发生旋转时，ΔABE与ΔADG的形状也会出现变化， 面积也会相应出现变化， 它们的面积S1与S2的大小关系会是怎样呢？在解答此类问题时我们要全方位考虑，综合考虑我们就可以尝试通过特殊位置上的“静”去分析图形的有关特征，当图形如图2所示时， 探究S1与S2的大小关系， 可发现正方形在旋转的过程中， AG与AE上的高一直都是相等的，因此可以发现S1与S2又相等。通过这种方式我们能很快抓住图形瞬间的静止状态，研究“静态”之下图形存在的特征、性质， 去猜想、去寻找和去验证“动态”之下图形具有的特征、性质， 可以让更加容易抓住动态几何问题的本质。

2、善于分析变量之间的关系，从中找出问题的切入口

图形的运动与变化往往会引发几个量之间的相互变化， 当某个量发生变化时， 另一个量也会随之发生变化， 通常量与量之间的变化是相互制约的。 引导学生分析线段与线段之间的相互制约性的变化、线段与面积之间的相互制约性的变化，发现图形中变量之间的联系， 是动态几何问题的解题途径。例2：如图3所示， P是边长为l 的正方形ABCD 对角线AC上一动点（点P与点A、C不重合） ， 点E 在射线B C 上， 且PE = PB 。

（l） 求证： PE=PD ；PEPD。

设AP= x ，ΔPBE 的面积为y。

求出y 关于二的函数关系式， 并写出x 的取值范围；

当x 取何值时， y 取得最大值， 并求出这个最大值。

分析：第二个小题是研究动态几何问题中的变量和变量之间的关系，当点P在线段AC上运动时，引发了一些线段和一些图形发生了变化，如图4所示中各种量之间的变化往往是相互联系的，当线段AP发生变化时，线段PC、CE、BE及ΔABP、ΔADP、ΔPBE、ΔCEP、ΔCDP的面积发生相应的变化，当然，图形之中别的量也会有所变化，这又引起了其余的量的变化，此时我们不能被运动和变化所迷惑，要分析图形之中线段与线段、面积与线段、面积与面积之间的关系，这是解决动态几何问题极其有效的一种途径。

3、巧用函数，用数形结合的方式使问题简单化

函数往往能够揭示某个运动过程中几个量之间的变化规律，是解决很多问题的模型。在动态几何问题当中经常隐含了函数，图形的运动与变化总是引起几个相互制约、相互联系的量。这时，如果我们把期中的一个量当作自变量，那么另外一个量也就是它的函数了，通过构造函数，我们就可以用函数解析式来解决动态几何问题了，实现了将一个复杂问题简单化。如上一题中第二问的第问只要根据AP这个变量与BE和BE上的高之间的相互关系，我们就可以构造出ΔPBE的面积y与AP的长x之间的函数关系式。

四、解决动态几何问题的实例

例3：在ABC中，∠ACB=45o.点D（与点B、C不重合）为射线BC上一个动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC.如图①，且点D在线段BC上运动.试请判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动.（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于P点，设BC=3，AC=42，CD=x，求线段CP的长.（结果用含x的式子表示）

【思路分析1】本题并未给出“静止点”，所以我们需要去分析由D运动产生的变化图形中，什么条件是不动的。由此题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是一直不变的，于是可以利用角度的互余关系进行传递，就可以得解了。

【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：AB=AC ，∠ACB=45o，∠ABC=45o.

由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=∠BAC =90o，

∠DAB=∠FAC，DAB≌FAC ， ∠ACF=∠ABD.

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o.即 CFBD.

【思路分析2】这一问即是典型的从特殊到一般的问法，所以思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们找出AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CFBD.（1）中结论成立.

理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG

可证：GAD≌CAF ∠ACF=∠AGD=45o

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o. 即CFBD

【思路分析3】这一问有点麻烦，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不同的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP。

（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q，

①当点D在线段BC上运动时，

∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4. DQ=4-x，

易证AQD∽DCP， CPDQ=CDAQ， CP4-x=x4，

CP=x24+x.

②当点D在线段BC延长线上运动时，

∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x.

过A作交CB延长线于点G，则. CFBD，

AQD∽DCP， CPDQ=CDAQ， CP4+x=x4，

CP=x24+x.

五、小结

动态几何问题的教学策略除了以上几点之外， 还要多加实践，反复练习，争取一题多解。动态几何，问题灵活多变， 静中含动，动中有静， 分析处理其中的数量关系， 可在“变” 之找到“不变”， 在“不变”中猜到“变”。对于动态几何问题， 我们要用运动与变化的眼光去研究和观察， 化动为静， 以静制动， 勤加练习， 找到动与静之间的关系， 找到量与量之间的联系， 找到图形与图形之间的关系， 进行合情推理与猜想， 掌握图形运动与变化的过程，发现解决问题的关键所在。动态几何问题是数学中一道美丽的风景， 数学因之而变得更加精彩， 其精心构置的知识框架是学生攀登知识巅峰的脚手架。动态几何在图形的运动与变化之中最能考查学生的空间想象能力，和演绎推理能力，是学好数学必备的一课。

参考文献

[1]徐美珍. 初中动态几何教学与数学创造性思维的培养[M]辽宁师范大学， 2010

[2]魏祖成. 对一道几何题的探究与感悟，[J]中国数学教育， 2010

[3]蔡建锋. 探索几何图形折叠问题的源头及其发展趋势，[J]中国数学教育， 2010

[4]傅海伦. 青岛泰山版《义务教育课程标准实验教科书》“图形与几何”的内容 设计与教学要求，[J]中国数学教育， 2010