例谈零点定义与零点定理的应用
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零点定理是新教材中增加的一个重要定理，在解题中有着广泛的应用. 什么是零点呢？对于函数y= f （x）,我们把使f （x）=0的实数x叫做函数y=f （x）的零点. 即方程f （x）=0有实数根图像y=f （x）与x轴有交点函数y=f （x）有零点. 什么是零点定理呢？如果函数y=f （x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，且满足f （a）f （b）
一、简单应用
例1（2009年福建文科卷）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f（x）可以是（）
A. f（x）=4x1B. f（x）=（x1)2
C. f（x）=ex1D. f（x）=ln
解析f （x）=4x1的零点为x=，f（x）=（x1)2的零点为x=1, f（x）=ex1的零点为x=0，f（x）=ln的零点为x= .
现在我们来估算g（x）=4x+2x2的零点，因为g（0）=1，g=1，所以g（x）的零点x∈.
又函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，因此只有f（x）=4x1的零点适合，故选A.
例2若关于x的方程2ax2x1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（）
A. a1
C. 1
解析令f （x）=2ax2x1，方程2ax2x1=0在（0，1）内恰有一解有两种情况：一是判别式等于0，二是判别式大于0. 当判别式等于0时，a=，可得x=2（0，1），不符合；当判别式大于0时，a>，由f （x）的图像性质，知只需满足f （0）f （1）
例3（2009年天津理科卷）设函数f（x）= xlnx（x>0），则f （x）（）
A. 在区间，（1，e）内均有零点
B. 在区间，（1，e）内均无零点
C. 在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点
D. 在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点
解析由题意得f'（x）== . 令f'（x）>0，得x>3；令f'（x）
点评利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，是常用的思路.
例4（2009年山东理科卷）若函数f（x）=axxa（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 ___________.
解析设函数y=ax（a>1，且a≠1}和函数y=x+a，则函数f（x）=axxa（a>0且a≠1）有两个零点就是图像y=ax（a>0且a≠1}与图像y=x+a有两个交点.
可知当01）过点（0，1），而直线y=x+a过点（0，a），在点（0，1）的上方，所以它们有两个交点. 所以实数a的取值范围是a>1.
点评本题是零点定义的变形应用，即把函数零点转化为两个函数图像交点，考查了指数函数图像与直线的位置关系，可根据底数的不同取值范围而分别画出图像来解答.
二、灵活应用
例5（2010年浙江文科卷）已知x0是函数f （x） =2x+的一个零点. 若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则 （）
A. f （x1）
C. f （x1）>0，f （x2）0，f （x2）>0
解析分别作出函数h（x）=2x，g（x）= 的图像，如图1，可以看出当1
例6设x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2 +bx+c=0和ax2+bx+c =0的一个根，且x1≠ x2，x1≠0，x2≠0，求证：方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间.
证明令f（x）=x2+bx+c，由题意可知ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，即bx1+c=ax12，bx2+c=ax22，则f （x1） = x12+bx1+c= x12ax12=x12，f （x2）=x22+bx2+c = x22+ax22= x22.
因为a≠0，x1≠0，x2≠0，所以f（x1）・f（x2）
点评整体代换是判断f（x1）・f（x2）符号的关键.
例7（2009年浙江文科卷）已知函数f（x）=x3+（1a）x2a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围．
解析（1）由题意，得f'（x）=3x2+2（1a）x a（a+2），又解得b=0，a=3或a=1.
（2）函数f（x）在区间（1，1）上不单调，等价于导函数f'（x）在（1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f'（x）在（1，1）上存在零点，根据零点定理，有f'（1）f'（1）
点评不是考虑原函数有没有零点，而是考虑它的导函数有没有零点，是灵活的问题.
例8已知f （x） 是定义在区间[a，b]上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：①f （x）的值域为G，且G[a，b]；②对任意不同的x，y∈[a，b]，都有|f（x）f（y）|
A. 没有实数根
B. 有且只有一个实数根
C. 恰有两个不同的实数根
D. 有无数个不同的实数根
解析构造函数g（x）=f （x）x，易知g（x）在[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且g（a）=f（a）a， g（b）=f （b）b.
因为f（x）的值域是G，且G[a，b]，所以g（a） ≥0，g（b）≤0，故存在x0∈[a，b]，使得g（x0）=0，即f（x0） =x0，因此关于x的方程f （x）=x在[a，b]上至少有一个根x0.
假设关于x的方程f （x）=x存在两个不同的实数根x1，x2∈[a，b]，则f （x1）=x1，f （x2）=x2，从而|f （x1） f （x2）|=|x1x2|，这与条件②相矛盾.
故正确答案是B.
点评本题以函数零点为载体，考查同学们对抽象条件的理解及综合运用知识分析、解决问题的能力，考查创新意识. 要解决问题应从求解目标中发现问题的实质，从题设条件中合理提取有关信息，通过分析与综合，获得解决问题的办法.
三、创造性应用
看似无零点的问题，运用零点定义或零点定理解决，就是创造性的体现.
例9（2009年上海理科卷）过圆C：（x1）2+（y1）2=1的圆心，作直线分别交x，y正轴于点A，B， AOB被圆分成四部分（如图2），若这四部分图形面积满足SI+SIV=SII+SIII，则这样的直线AB有 （）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
解法一设|OA|=x ，则x>1，SII与SIV均为常数.
设SI=f （x），SIII=g（x），则f （x）在（1，+∞）上为增函数，g（x）在（1，+∞）上为减函数. 故函数y=f （x）g（x）+SIVSII为（1，+∞）上的增函数，且x1时，f （x）0，g（x）+∞，所以y∞；同理x+∞时，y+∞. 因此有且仅有一个x的值，使y=0，故应选B.
解法二设∠BCE=，则BE=tan，DA=cot0
因为SI+SIV=SII+SIII，所以cot+ =1+tan，整理得tancot=2+2.
由tancot=2cot2,可得cot2=+1.
分别考察函数y=cot2和y=+10
点评本题考查零点定义的灵活运用，是一个很有创意的题目. 由于解法2用到了余切函数，所以此解法仅供学有余力的同学参考. 本题还可以这样思考：由已知，得SIVSII=SIIISI，第II，IV部分的面积是定值，所以SIVSII为定值，即SIIISI为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B.
例10已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.
（1）若x1，x2∈R，x1
（2）若关于x的方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上的根为m，且满足x1+x2=2m1，设函数f（x）的图像的对称轴方程为x=x0，求证x0
证明（1）设g（x）=f（x）[f（x1）+f（x2）]，则 g（x1）= [f （x1）f （x2）]，g（x2）= [f （x2）f （x1）]，所以g（x1）g（x2）=[f （x1）f （x2）]2
又因为g（x） 也是二次函数，由二次函数图像特征，知g（x）在（x1，x2）上必有一个根，且g（x）=0有两个不相等的实数根.
所以方程f（x）=[f （x1）+f （x2）]有两个不相等的实数根，且在（x1，x2）上必有一根.
（2）由题意， x0=，f （m）=am2+bm+c= [f （x1） +f（x2）]= a（x12+x22）+b（x1+x2）+cam2+bm= a・[（x1+x2）22x1x2]+b（2m1）x0==m2+2m+x1（2m1x1）=+m≤m≤m2.
因为上式等号成立时，m= ，x1=0x1+x2=2m1 =0x2=0，与x1
1．（2010年福建卷）函数f （x）=的零点个数为 （）
A．0B．1C．2D．3
2．（2010年浙江理科卷）设函数f（x）=4sin（2x+1）x，则在下列区间中f （x）不存在零点的是（）
A. [4，2]B. [2，0]
C. [0，2]D. [2，4]
3. 函数f （x）=lgxsinx的零点个数为_________.
4. 已知函数f （x）=x2+2ax+1，其中a∈[2，2]，则f （x）有零点的概率是________．
5. （2009年广东理科卷）已知二次函数g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且g（x）在x=1处取得极小值m1（m≠0）．设f （x）=．
（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）kx存在零点？并求出零点．
1. C. 2. A.3. 3.4. .
5. （1）±；（2）当k=1时，函数y=f （x）kx有一零点x=；当k>1（m>0）或k