圆锥曲线一共线焦半径性质的发现、引申和应用
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摘 要：圆锥曲线有许多统一性质，本文介绍其共线焦半径的一个性质，并例说谈它的应用.
关键词：圆锥曲线；焦半径；性质
圆锥曲线有许多优美的统一性质，比如统一定义；统一极坐标方程：ρ=；横（纵）向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式：AB=（AB=）（对双曲线为同支焦点弦）…等等. 这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系，展示了圆锥曲线内在的“统一美”，而且其本身也具有很高的应用价值. 作为教师，若能与学生一起进行探究、推导和应用，则不仅能拓宽学生的知识面，加深学生对圆锥曲线所学知识的理解，同时还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 本文探寻圆锥曲线的一个共线焦半径性质，并把它统一成用通径表达的形式，再例谈它的应用，以供参考.
发现之旅源于对如下的一个学生提问的思考：
题目：已知椭圆+=1（a>b>0），过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A，B两点，求证：+为一个与α无关的常数.
分析：这是椭圆中的一个普通问题，也是椭圆的一个基本的性质，它的证明可以采用普通方法，也可以用极坐标法解决.
证明一：设A（x1，y1），B（x2，y2），F（－c，0）为左焦点，当α≠90°时，设直线l的方程为：y=k（x+c），联立椭圆方程并消去y得，（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2－b2）=0，由韦达定理x1+x2=，x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=，其中e=，代人并化简得+==2・-1，为常数；当α=90°时，+=+=2-1. 综上，对任意的倾斜角α，+=2・-1，为定值.
证明二：以椭圆左焦点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=（其中e为离心率，p为焦点到相应准线的距离），设A（ρ1，α），B（ρ2，π+α），则+=+=+=，其中ep=，所以+==2-1，为定值.
评注：在处理焦点弦问题中，极坐标法具有明显的优势，它能化难为易，变繁为简.另外，本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等，在此不再赘述.
探究：题目已经证完了，但我们不能就此停下脚步. 上述证明表明，椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数，由此引发我们联想：双曲线和抛物线中是否也有同样性质呢？即把上述题目中的椭圆+=1（a>b>0）改成双曲线－=1（a>0，b>0）和抛物线y2=2px后，+是否仍为常数呢？回答是肯定的，由于椭圆、双曲线和抛物线在一定坐标系条件（椭圆的左焦点，或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点，x轴正向为极轴）下具有统一极坐标方程ρ=，根据证明可知，在双曲线和抛物线中+仍为. 由此我们发现：圆锥曲线（同支）共线焦半径的倒数之和为常数，即+=. 但这种常数的形式在普通方程中并没出现过，学生不太容易接受. 于是我们就想，能否把它表示地更一般些呢？这ep究竟是一个怎样的量呢？由e，p的几何意义我们知道，在椭圆中e=，p=－c=，即ep=；在双曲线中e=，p=c－=，同样有ep=；在抛物线中e=1，故ep=p.为什么椭圆和双曲线中的结果都与有关，而抛物线中只与p有关，同样都是圆锥曲线，这两者之间会不会有某种联系呢？通过对圆锥曲线的仔细分析，发现：即为椭圆和双曲线通径长的一半，那么p不也就是抛物线通径长的一半吗？于是发现：ep为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m，即有ep=，则+即可统一写成=. 受此启发，本文开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式：AB=（AB=）即可写成：AB=（AB=）. 于是得到了圆锥曲线共线焦半径的如下：
性质：已知横（纵）向型圆锥曲线的通径长为m，AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，则（1）+=； （2）AB=（AB=）（上述的同支只针对双曲线）.
评注：因为学生对通径相对要熟悉一些，所以这种表示的形式更容易被学生理解和记忆.
性质的引申
由于AB=AF+BF，联立上述（1），（2）可以求出，经过归纳得到有如下结论：
引申1 设F为椭圆的左焦点（或双曲线的右焦点，或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申2 设F为椭圆的右焦点（或双曲线的左焦点，或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申3 设F为椭圆的下焦点（或双曲线的上焦点，或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
引申4 设F为椭圆的上焦点（或双曲线的下焦点，或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点），AB为过焦点F且倾斜角为α的（同支）弦，AB被焦点F分成上、下两段之比为λ，则λ=.
性质的应用
有了上述的性质和引申，就可以方便地解决有关共线焦点弦问题，如：
例1 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若AF=3，则BF=________.
解：由性质1：因为+=，将AF=3，m=2p=4代人，即得BF=.
例2 （2010年重庆理）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为________.
解：由抛物线定义知，弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，由引申1知3=，即cosα=，所以AB===，从而弦AB的中点到准线的距离为.
例3 （2010全国卷Ⅱ理）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点． 若=3，则k=（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
解：由引申2知，=，即得cosα=，所以斜率k=tanα=. 故选B.
评注：本文得出的相关结论能有效地解决一类共线焦点弦问题，可在选择题和填空题中直接使用. 此外，本文探究中运用了类比的方法，它是数学学习中的重要方法，也是培养学生创新意识的重要途径，应该予以重视.
同型演练
1. （2009年全国Ⅱ理）已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若=4，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2. （2010年全国卷Ⅰ文）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2，则C的离心率为________.
3. （2010年辽宁理）设椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，=2.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果AB=，求椭圆C的方程.
参考答案：1. A；2. ；3. （1）e=；（2）+=1.