中考试题中的一次函数应用题

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以图象为条件的一次函数应用题是初中数学中的重难点，在近年来的中考中屡见不鲜．解答它们，应认真读题，观察图象，并把其中一些特殊点的横坐标和纵坐标都找出来．如果对应的图象是折线，要注意看折线能分解为哪些线段或射线，并理解它们所表达的实际意义．现以2011年的中考题为例介绍如下.

例1（湖北宜昌） 某市实施“限塑令”后，2008年减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的关系如图1所示．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？

分析：（1）由点（2008，4）和点（2010，6）可以求出y与x之间的关系式；（2）只需确定x＝2011时对应的y的值．

解：（1）设y＝kx＋b．

因为x＝2008时，y＝4；x＝2010时，y＝6，

所以2008k＋b＝4，2010k＋b＝6.

解得k＝1，b＝－2004．

所以y＝x－2004．

（2）在y＝x－2004中，

因为x＝2011时，y＝7，

所以该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量约为7万吨．

例2（江苏南京） 小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发50分钟后才乘上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米．设小亮出发x分钟后行走的路程为y米．图2中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．

（1）小亮行走的总路程是_______米，他途中休息了________分钟；

（2）当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；

（3）小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

分析：（1）要求小亮行走的总路程，只需观察x＝80时对应的y值．要求他途中休息了多少时间，必须明白图中的折线哪一段表示他在休息，再求出该段两个端点对应的x值的差；（2）先观察x＝50和x＝80时对应的y的值，再由这两组值求y与x的函数关系式；（3）小颖到达缆车终点时，要求小亮离缆车终点的路程，应先确定小亮行走的时间x及路程y．

解：（1）如图2，当x＝80时，y的值为3600，所以小亮行走的总路程是3600米．

因为当30≤x≤50时，

y的值保持不变，

所以小亮途中休息的时间为（50－30）分钟，即20分钟．

（2）当50≤x≤80时，设y＝kx＋b．

因为x＝50时，y＝1950；

x＝80时，y＝3600.

所以50k＋b＝1950，80k＋b＝3600.

解得k＝55，b＝－800．

所以函数关系式为y＝55x－800．

（3）依题意，缆车行走的路线长为3600÷2＝1800（米）．

所以小颖到达缆车终点所需时间为1800÷180＝10（分钟）．

此时，小亮行走的时间为50＋10＝60（分钟）．

把x＝60代入y＝55x－800中，得y＝55×60－800＝2500．

所以小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600－2500＝1100（米）．

例3（吉林吉林） 有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器.开始时，两容器同时开进水管，甲容器到8分钟时，关闭进水管打开出水管；到16分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水；到28分钟时，同时关闭两容器的进水管．两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图3所示，解答下列问题：

（1）甲容器的进水管每分钟进水_______升，出水管每分钟出水________升；

（2）求乙容器内的水量y与时间x的函数关系式；

（3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间．

分析：（1）根据甲容器进水8分钟的进水量和出水8分钟的出水量分别能确定甲容器每分钟的进水量和每分钟的出水量；（2）由于乙容器内的水量y与x的函数图象过点（0，10）和点（5，15），则其对应的函数关系式可以求出；（3）只需确定线段BC和线段DE的交点的横坐标即可．

解：（1）由图可知，甲容器进水8分钟的进水量为40升，出水8分钟的出水量为（40－20）＝20（升）．

40÷8＝5（升），20÷8＝2.5（升）.

所以甲容器的进水管每分钟进水5升，出水管每分钟出水2.5升．

（2）设线段DE的一次函数关系式为y＝k1x＋b1．

因为线段DE过点（0，10）和点（5，15），

所以b1＝10，5k1＋b1＝15.

解得k1＝1，b1＝10．

所以乙容器内的水量y与时间x的函数关系式为y＝x＋10．

（3）设线段BC的一次函数关系式为y＝k2x＋b2．

因为甲容器的进水管每分钟进水5升，出水管每分钟出水2.5升，

所以当x＝28时，y＝20＋（28－16）×（5－2.5）＝50．

所以点C的坐标为（28，50）．

因为点B的坐标为（16，20），

所以28k2＋b2＝50，16k2＋b2＝20.

解得k2＝2.5，b2＝－20．

所以线段BC 的一次函数关系式为y＝2.5x－20．

因为线段DE与线段BC相交，

所以x＋10＝2.5x－20．

解得x＝20．

所以从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间为20分钟．

例4（江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400米的邮局办事.小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从邮局沿同一条道路步行回家.小明在邮局停留2分钟后沿原路以原速度返回.设他们出发后经过x分钟时，小明与家之间的距离为y1米，小明爸爸与家之间的距离为y2米．图4中折线OABD、线段EF分别是表示y1、y2与x之间的函数关系的图象．

（1）求y2与x之间的函数关系式；

（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们离家还有多远？

分析：（1）由于点E的坐标为（0，2400），要确定y2与x之间的函数关系式，应先确定点F的坐标；（2）注意到点C为线段EF与线段BD的交点，要求小明从家出发经过多长时间在返回途中追上爸爸，及此时他们与家的距离，只需确定点C的横坐标及纵坐标．

解：（1）设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx＋b．

因为邮局离小明家2400米，小明爸爸的步行速度为每分钟96米，

所以小明爸爸从邮局到家的时间为2400÷96＝25（分钟）．

所以点F的坐标为（25，0）．

因为点E的坐标为（0，2400），

所以b＝2400，25k＋b＝0.

解得k＝－96，b＝2400．

所以y2＝－96x＋2400．

（2）设线段BD的函数关系式为y1＝kx＋b．

由于小明去邮局时用了10分钟，

故小明沿原路以原速返回到家也需10分钟．

所以点D的坐标为（22，0）．

而点B的坐标为（12，2400），

所以22k＋b＝0，12k＋b＝2400.

解得k＝－240，b＝5280．

所以y1＝－240x＋5280．

当y1＝y2时，

有－240x＋5280＝－96x＋2400．

解得x＝20．

这时，y1＝y2＝480．

所以小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480米．

练习

1．（福建南平）我国西南五省市的部分地区发生严重旱灾，为鼓励节约用水，某市自来水公司采取分段收费.如图5反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．

（1）小明家五月份用水8吨，应交水费_________元；

（2）按上述分段收费标准，小明家三、四月份分别交水费26元和18元，问四月份比三月份节约用水多少吨？

2．（黑龙江鸡西）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图6中甲、乙所示．

（1）请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.

（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？

（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？

参考答案：

1.（1）16；（2）三月份用水量为12吨，四月份用水量为9吨，节约3吨．