处理解析几何“长度问题”的五大视角

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近几年解析几何中的“长度问题”已成为高考与竞赛试卷命题的热点.此类问题有综合性强、运算量大、思想方法多、思维能力要求高等特点.对这类问题，只要采取恰当的视角，就可以快速、有效地找到解题途径.本文从五个角度介绍破解策略，供读者参考，希望能给读者一点启发.

一、公式视角

运用两点间的距离公式求长度是最常用也是最有效的方法，它是解析几何处理“长度”问题的通法.运用此法，解题思路自然、流畅，缺点是“变形”要求略高，运算量偏大.

【例1】（2010年山东理21）如图，已知椭圆■+■=1（a>b>0），离心率为■，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（■+1），等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1、k2=1；Ⅲ）是否有正实数λ，使|AB|+|CD|=λ|AB|・|CD|恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.

解：Ⅰ）椭圆方程■+■=1，双曲线方程x2-y2=4.

Ⅱ）略.

Ⅲ）设PF1所在直线方程为：y=k1（x+2），设A（x2，y2），B（x2，y2）.

由y=k1（x+2）■+■=1消去y得（1+2k12）x2+8k21x+8k21-8=0由韦达定理得x1+x2=■，x1x2■结合k1k2=1得|AB|=■|x1-x2|=■.同理可得|CD|=■所以|AB|+|CD|=■.|AB|+|CD|=■因为|AB|+|CD|=λ|AB|・|CD|恒成立，所以12■=32λ，即λ=■.

二、坐标视角

所谓坐标化，就是通过坐标将“长度”转化为坐标来处理的一种解题方法，其本质是几何问题代数化.通过建立坐标系（直角坐标系或极坐标系），利用长度与直角坐标、长度与极径的内在联系使难于处理的某些长度问题转化为坐标――即数的运算来解决，我们熟知的“化斜为直”就是坐标化运用的典型例子。

【例2】（2012年浙江省高中数学竞赛19题）设P为椭圆■+■=1长轴上一个动点，过P点斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于K而与P无关，求的值。

解：设P（m，0），则过P点斜率为k的直线方程为y=k（x-m），其倾斜角为α，易知k≠0，设A（x1，x2）.B（x2.y2）故|PA|2+|PB|2=■+■=■（y21+y22）

由y=k（x-m）■+■=1消去x并整理得（16+25k2）y2+32mky+16m2k2-400k2=0

由韦达定理得y1+y2=■，y1y2=■所以

■（y21+y22）=■[（y1+y2）2-2y1y2]

=■

因为|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与P无关，所以16-25k2=0，从而k=±■

三、参数视角

直线的参数方程中的参数有明显的几何意义，它与长度问题密切相关，受此启发，求长度之比、面积之比、证明有关长度的恒等式（或不等式）及求长度范围、最值等问题，常可通过合理换元、适当引参，运用参数的几何意义来破解，以实现简化运算，快速求解的目的.

【例3】直线l过点m（2，1），且与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点，求使|MA|・|MB|最小时直线l的方程。

解：直线l的参数方程为x=2+tcosθy=1+tsinθ其中t为参数，θ为倾斜角，且θ∈（■，π）设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由yA=0yB=0可得t1=-■，t2=-■

所以|MA|・|MB|=|t1|・|t2|=|-■|・|-■|=|-■|所以，当sin2θ=-1即θ=■时，|MA|・|MB|有最小值4，此时直线l的方程为x=2-■ty=1+■t即x+y-3=0

四、比例视角

圆锥曲线的定义及平面几何和向量的许多定理、性质（如角平分线定理、合分比定理、三角形的相似比、向量共线定理等）均与长度有关.对于长度之比这类问题，解题时要抓住几何图形的性质特征，运用几何模型，挖掘存在的比例关系便于找到解题的突破口.

【例4】（2008年江西理15）过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则■= 。

解：设l为抛物线的准线，过A、B分别作AMl于N，过A作ACBN于C，设|AF|=x，|BF|=y，|AB|=|AF|+|BF|=X+Y.①由抛物线的定义得|AM|=|AF|=x，|BN|=|BF|=y，所以|BC|=|BN|-|AM|=y-x ②而由已知条件知直线AB的倾斜角为30°，所以∠BAC=30°，于是在RtACB中有|AB|=2|BC|，将①、②式代入得x+y=2（y-x），即3x=y，所以■=■=■.

五、向量视角

向量具有数与形的双重特点，既是数与形联系的桥梁，也是求角与长度问题的重要工具，它常与三角函数、解析几何等内容结合在一起，已越来越受到命题老师的青睐.解析几何的“长度问题”如果能与向量结合，利用向量知识与方法可将长度问题向量化，就能收到事半功倍的解题效果。

例题：（略）。

（作者单位：浙江省宁海中学）