新意盎然的等腰三角形问题

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综观各地中考试题不难发现，将等腰三角形和函数、格点、坐标系结合在一起的中考题经常出现，已成为热门考点.现举几例予以说明，供同学们参考.

一、网格中的等腰三角形问题：

例1如图1所示，A、B是4×5网格中的点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以Ａ、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．

解析：根据网格的特征及等腰三角形的有关知识易得，AB只能为一腰，且AB=，由勾股定理可知点C1、C2、C3符合要求（如图2）．

例2如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时：

（1）P点坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）；

（2）记MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0

（3）当t=秒时，S有最大值，最大值是；

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式.

解析：（1）P的坐标为（4-t，t）；

（2）在MPA中，MA=4-t，MA边上的高为t，

S=SΔMPA=（4-t）・t，

S=-t2+t（0＜t＜4）；

（3）当t=2秒时，S最大值=；

（4）由（3）可知，当S有最大值时，t=2，此时N在BC的中点处，如图4，

设Q（0，y），则有，

AQ2=OA2+OQ2=42+y2，

QN2=CN2+CQ2=22+（3-y）2，

AN2=AB2+BN2=32+22，

因为AQN为等腰三角形，

①若AQ=AN，即42+y2=32+22，此时方程无解；

②若AQ=QN，即42+y2=22+（3-y）2，解得y=-；

③若QN=AN，即22+（3-y）2=32+22，解得y1=0，y2=6；

Q1（0，-），Q2（0，0），Q3（0，6），

当Q为（0，-）时，设直线AQ的解析式为y=kx-，将A（4，0）代入得4k-=0，

k=，直线AQ的解析式为y=x-，

当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴），

当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上， ANQ不存在，舍去，

直线AQ的解析式y=x-或y=0.

二、坐标系与等腰三角形问题：

例3在直角坐标系中，已知点A、C的坐标分别为A（-2，0），C（0，-2），在坐标平面内是否存在点M，使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30°，若存在，请写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由.

解析：已知点A、C的坐标，即AOC确定，又AC=4，∠ACO=30°， ∠CAO=60°，

由AC为等腰三角形ACM的一边知AC既可以是腰，又可以是底边，

①当AC为等腰三角形的腰时，可求得M坐标；

M1（0，2）， M2（-6，0），M3（-2，-4），M4（4，-2）；

②当AC为等腰三角形底边时，可求得M坐标为： M5（0，-），M6（-2，-）；

所以，存在6个符合要求的点M：

M1（0，2）， M2（-6，0），M3（-2，-4），M4（4，-2），M5（0，-），M6（-2，-）.

三、函数中的等腰三角形问题：

1.一次函数与等腰三角形

例4如图6，在直角坐标系中，一次函数y=x+2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B.在x轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由.

解析：由一次函数y=x+2求出交点A、B的坐标A（-2，0），B（0，2），

AB=4，∠OAB=30°，∠ABO=60°，

①当AB为等腰三角形的腰时，以A为圆心，AB为半径画弧交x轴于P1、P2，得P1（-4-2，0），P2（4- 2，0）；以B为圆心，BA为半径画弧交x轴于P3，得P3（2，0）；

②当AB为等腰三角形底边时，作线段AB的垂直平分线交x轴于P4，利用∠OAB=30°，AB=4，求出AP4，由 AO=2，得OP4=，所以P4（-，0）；

综上可知，P点坐标为:P1（-4-2，0），P2（4-2，0），P3（2，0），P4（-，0）.

2.二次函数与等腰三角形

例5如图7，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上，连接OP、PM，则PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使得OPQ也是等腰三角形，简要说明理由.

解析：由于已知点O（0，0），P（2，4），故线段OP唯一确定.

理由：作OP的中垂线一定能与抛物线相交，或以P点为圆心，以OP为半径画弧也能与抛物线相交.

综上可知，函数中的等腰三角形一般都已知其中两点的坐标，所以一条边已唯一确定，接下来可以分两种情况讨论：

①这条边为等腰三角形的腰时，分别以已知的两点为圆心，以这条边的长度为半径画弧，求出第三个点的坐标；

②这条边为等腰三角形底边时，作这条边的垂直平分线，求出第三个点的坐标.