突破高考压轴题的一种解题途径

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甘肃临泽一中734200

摘要：本文通过对真题进行联想转化，有针对性地通过已知条件发掘深层次的隐含条件，并充分利用已知条件的结构特征，完美解决高考压轴题．

关键词：数列；放缩；裂项；单调性

在知识的交汇点处命题，是考查能力的需要，尤其是解答题中的压轴题，更具风格．如何突破高考解答题中压轴题“深入难”，本文介绍一种有效方法：即紧扣题眼，挖掘隐含，回归教材，联想转化，寻找解题突破口．现以函数为载体的数列不等式的证明为例，说明其解法格式，用以抛砖引玉．

例1 （2005重庆）已知数列an

满足，a1=1且an+1=

1+an+（n≥1）．

（1）求证： an≥2（n≥2）.

（2）已知不等式ln（x+1）＜x对x＞0成立，证明an＜e2（n≥1）． 其中无理数e=2.71828…

解析 （1）略

（2）题眼1 不等式ln（x+1）＜x对x＞0成立．

潜在信息1 对数不等式可放大为有理式，只要对数的真数为1+x（x＞0）型．

题眼2 an+1=1+

an+.

潜在信息2 an+1=1+

an+的两端虽然能取对数，但真数不具有1+x（x＞0）型．

回归教材 本题是数列问题，课本上重点讲了等差数列与等比数列问题．

联想转化 注意到题目给出的数列递推关系式的两端结构除外，很像等比数列结构，因而可利用放缩法将其化=lnan+-+＜lna1+1-+-+…+-+++…+＝1-+＝2--＜2，即lnan＜2，故an＜e2．

例2 设函数f（x）=lnx－px+1.

（1）求函数f（x）的极值点；

（2）当p＞0时， 若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；

（3）证明：++…+＜n∈N

*，n≥2

解析 （1）（2）略.

（3）题眼 由（2）知当p≥1，x＞0时，恒有fx≤0.

潜在信息对数式可放大为有理式，只需p≥1，x＞0.

令p=1由（2）知lnx≤x－1又n∈N*，n≥2可得lnn2≤n2－1.

回归教材 课本上有关数列求和主要讲了等差数列、等比数列的求和法以及错位相减法、裂项法、倒序相加法.

联想转化 利用放缩法裂项求和.

（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列｛an｝的前n项和，且满足S=3n2an+S，an≠0． n=2，3，4，…．

（1）证明：数列

（n≥2）是常数数列；

（2）确定a的取值范围M，使a∈M时，数列｛an｝是单调递增数列；

（3）证明：当a∈M时，弦AnAn+1n∈N*

的斜率随n单调递增．

解析 （1）（2）略.

（3）题眼1 Anan，bn

n∈N*

是曲线y=ex上的点.

潜在信息1 bn=en∈N*

.

题眼2 a∈M.

潜在信息2 数列｛an｝是单调递增数列.

题眼3所证结论为弦Anan，bn

的斜率kn＝＝n∈N*

随n单调递增，即证＜.

潜在信息3 视为函数判断单调性

回归教材 函数单调性的判断方法，课本上除定义法外，重点讲了导数法.

联想转化 所证结论中有多个多元，可视某一元为主元，判断单调性

任取x0，设函数f（x）＝，则f（x）＝.

记g（x）=ex（x－x0）－（ex-e），则g′（x）=ex（x－x0）+ex－ex=ex（x－x0），

当x>x0时，g′（x）>0，g（x）在（x0，+∞）上为增函数，

当x

所以x≠x0时，g（x）>g（x0）=0，从而f ′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，x0）和（x0，+∞）上都是增函数．

由（Ⅱ）知，a∈M时，数列｛an｝单调递增，

取x0=an，因an

取x0=an+2，因an

从而＜．

故弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．

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