关于笛沙格定理的构形及应用研究

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摘要:本文对笛沙格定理的构形作出分析,并通过五个例题说明在具体的问题中运用逆向思维使用笛沙格定理会取得较好的效果。

关键词:射影几何 笛沙格定理 透视中心 透视轴

中央广播电视大学开放教育本科层次数学教育专业开设有一门专业必修课――《几何基础》,它的主要内容是一维与二维经典射影几何。笛沙格定理是射影几何的重要定理,运用它证明射影几何中的有关问题是学生必须具备的一种能力,但对于初学者来说,没有良好的方法、要想迅速而准确地解题是很难的。笔者通过长期教学实践发现:只要对笛沙格定理的构形有很好的把握、在解决问题的过程中运用逆向思维,即从结论出发、反向探索、寻求答案的思维方式,会取得很好的效果。

一、 预备知识

定义一.三点形:平面上不共线的三点与每两点的连线所组成的图形,称为三点形。

其中点称为顶点,连线称为边。

定理1.笛沙格定理(Desargues' Homology Theorem )

平面上有两个三点形ABC、DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。

相异平面上有两个三点形ABC、DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。 如图所示:

定理2.笛沙格定理的逆定理:如果两个三点形对应边的交点共线,则对应顶点的连线共点。

二、笛沙格定理的应用

(一)在作图题中的应用

例1.设a,b,c,d是平面内四条直线,不用先定出交点(a,b),(c,d),试作出一条直线通过这两个交点。

[分析] 这是一道作图题,要求不作出(a,b),(c,d)这两点,但要作一条直线经过这两点。可以这样考虑:如果我们构造两个透视的三点形,使这两点成为它们的对应边交点中的两个,那么所构造的两个三点形的透视轴必然为(a,b),(c,d)所确定的直线。

但是一对透视三点形只能“确定”一个点(记为D1),而一个点无法确定一条直线,怎么办呢?可以再构造一对透视的三点形,使(a,b),(c,d)也成为它们对应边交点中的两个,这样,第二对透视三点形又能“确定”一个点(记为D2)。

因为D1,D2不重合,所以D1与D2的连线即为透视轴,且此线必然通过两点(a,b),(c,d)。

作法一:令a×c=A,b×d=A′连A,A′,在连线上取一点S,过S分别作二直线与c,d;a,b依次交于点B,B′;C,C′,则两个三点形ABC与A′B′C′是透视的三点形。令BC×B′C′=D1,在AA′上另取一点S′,过S′作二直线与a,b,c,d分别交于D,D′,E,E′,连结DE,D′E′,令DE×D′E′=D2,连结D1,D2即为所求。

作法二:在AA′上取一点S,过S作三条线与a,b,c,d分别交于D,D′;C,C′;B,B′,连结BC,BD;B′C′,B′D′,令BC×B′C′=D1,BD×B′D′=D2,连结D1、D2即为所求。(三点形ABC与A′B′C′以及三点形ABD与A′B′D′是两对透视的三点形。)

把以上两种作法作个比较会发现后者较为简洁,但两者的实质一样。

(二)在证明题中的应用

例2、设P,Q,R,S是完全四点形的顶点,PS×QR=A,PR×QS=B,PQ×RS=C,BC×QR=A1,CA×RP=B1,AB×PQ=C1

求证:A1,B1,C1共线。

[分析] 要证明A1,B1,C1三点线,关键是寻求一对透视的三点形,使这三点成为它们的三对对应边的交点。那么,应当考察哪两个三点形呢?根据已知条件BC×QR=A1,CA×RP=B1,AB×PQ=C1,得知三对对应边应在BC,CA,AB;QR,RP,PQ中寻找,即应当考察三点形ABC与三点形PQR。

证明:因为PS×QR=A,PR×QS=B,PQ×RS=C,

所以S在AP,BQ,CR上,即三点形ABC与三点形PQR对应顶点连线共点(S)。

据笛沙格定理可知两三点形对应边交点共线,而BC×QR=A1,CA×RP=B1,AB×PQ=C1, 所以A1,B1,C1共线。

例3、试用笛沙格定理(或其逆定理),证明任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点。

[分析] 作四边形ABCD,设AD、BC、AB、DC上的中点为E、F、G、H,两对角线BD、AC上的中点为M、N,连结EF、GH、MN,只要证明EF、GH、MN共点即可。

要证明EF、GH、MN交于一点,关键是寻求一对透视的三点形,使EF、GH、MN这三条线成为它们对应顶点的连线。那么,应当考察哪两个三点形呢?由三角形的中位线平行于底边可知:GE∥BD∥FH,EM∥AB∥FN,MG∥AD∥NH,即GE与FH,EM与FN,MG与NH,三对对应线的交点共线(无穷远直线),所以应当考察三点形GEM与三点形HFN。

证明:因为GE∥FH,EM∥FN,MG∥NH,

令GE×FH=P∞,EM×FN=Q∞,MG×NH=R∞,

则P∞,Q∞,R∞共线于L∞。

所以,三点形GEM与三点形HFN三对对应边的交点共线(L∞)。据笛沙格定理的逆定理可知:其三对对应顶点的连线共点,即EF、GH、MN共点。

以上两例的不同之处是前者运用的是笛沙格定理,后者运用的是其逆定理;共同之处是,都从结论出发,抓住要害,寻求两个透视的三点形,先证明它们具有透视中心(或透视轴),从而证明它们有透视轴(或透视中心)。

(三)在空间问题及其它复杂问题中的应用

例4、ABCD是四面体,点X在BC上,一直线通过X分别交AB、AC于P、Q,另一直线通过X,分别交DB、DC于R、S。

求证:PR与QS交于AD。

[分析] 要证PR与QS交于AD,实质上要证明PR、QS、AD三线共点。重点是要寻求需要考察的两个三点形(空间中)。据条件可知PQ×RS=X,那么下一步应当考虑QA还是QD呢?注意ABCD是四面体,若考察QD,还需再作一条空间直线,较为麻烦,因此我们不妨考察QA。因为C在QA上,C又在DS上,所以QA×SD=C;又因为AP×DR=B,而X、C、B三点共线,所以应当考察三点形PQA与三点形RSD。

证明:因为PQ×RS=X,QA×SD=C,AP×DR=B,且X、C、B三点共线,所以三点形PQA与三点形RSD是透视的三点形,它们必有透视中心。即PR、QS、AD三线共点(也就是PR与QS交于AD)。

例5、设三个共面三点形两两成透视且有公共的透视中心,求证:三透视轴共点。

[分析]设三个共面三点形为ABC,A′B′C′与A*B*C*,令三点形ABC与三点形A′B′C′的透视轴为XYZ,三点形A′B′C′与三点形A*B*C*的透视轴为X′Y′Z′,三点形A*B*C*与三点形ABC的透视轴为X*Y*Z*。要证明三透视轴共点,即要证明XY,X′Y′,X*Y*三线共点。不妨设这两个三点形是XX′X*和三点形YY′Y*,逆向思考可知XX′×YY′=B′,XX*×YY*=B,X′X*×Y′Y*=B*,B′,B,B*是否共线呢?据已知条件:三个三点形具有公共的透视中心,可知B′,B,B*是共线的。如果再次反向整理思路,取可得到这道复杂的高等几何题的证明过程。

证明:作三个共面三点形ABC,A′B′C′与A*B*C*,

令XX′×YY′=B′,XX*×YY*=B,X′X*×Y′Y*=B*,

可知B′,B,B *共线。

所以三点形XX′X*和三点形YY′Y*具有透视轴。

据笛沙格定理可知,它们必有透视中心,

即XY,X′Y′,X *Y *三线共点,即XYZ ,X′Y′Z′, X *Y *Z *三透视轴共点。

三、结语

高等几何课程是一门高度抽象的课程,笛沙格是射影几何中的一个重要定理,它的重要意义不仅在于它可推出一系列射影几何命题,还在于它是平面射影几何的基础之一。

综上所述,在解决笛沙格定理相关问题的过程中,若正向思维受阻,就应考虑逆向探求。加强逆向思维的训练,有助于学生克服国思维定势,开拓解题思路。

参考文献:

[1]于祖焕. 几何基础[M] . 中央广播电视大学出版社,2002

[2]梅向明、刘增贤、门树慧. 高等几何[M]. 高等教育出版社,1988

[3]王光生、何克抗. 基于信息技术的数学问题解决教学策略[J]. 开放教育研究,2009