反证法及其应用
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数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.证明的基本方法有直接法和间接法，反证法是间接证明的一种基本方法.
认识反证法
王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？
他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）.
1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）.
2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立.
3.反证法证明命题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.
注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；
注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；
4.一个反证法的范例
证明：素数有无穷多个。
这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1
此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！
这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧和反证法的特点！
反证法的应用
类型一.用反证法证明否定性命题
例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1
所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc
即a2+b2+c2+d2+ab-cd+bc=0
（a+b）2+（c+d）2+（a-b）2+（b+c）2=0
所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾，
故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
类型二.用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题
例2 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+■,b=y2-2z+■,c=z2-2x+■
求证：a，b，c中至少有一个大于0
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0，则a+b+c≤0
而a+b+c=（x2-2y+■）+（y2-2z+■）+（z2-2x+■）
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3>0
这与a+b+c≤0矛盾，因此abc中至少有一个大于0
类型三.用反证法证明唯一性问题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行
证明：假设过点A还有一条直线c与已知直线a平行.由于a∥b,c∥a，所以b∥c,这与b∩c=A矛盾，所以假设错误，故原命题成立.
类型四.用反证法证明直接证明有困难的问题
例4 证明：■是无理数
证明：假设■不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数m，n，使得■=■（任意一个有理数都可以写成形如■（m,n互质，m∈Z,n∈N ））
从而m■n，因此m2=2n2，所以m为偶数.于是可设m=2k（k∈N） ,从而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而■是无理数。
注解：（1）反证法证明的第一步是否定结论
常见数学用语的正面叙述及其否定形式
（2）如何推理论证，找出矛盾
所谓“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；
“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；
（3）反证法适用的题型：
1.否定性问题；
2.存在唯一性问题；
3.“至多”或“至少”问题；
4.结论的反面比原结论更具体，更容易研究和掌握的题目；
5.原命题直接证明有困难时；
练习：（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，
求证■，■，■不成等差数列
（2）已知x>0，y>0,且x+y>2求证：■，■至少有一个小于2
（3）过平面α内的一点A作直线a,使得aα，求证：直线a是唯一的反证法常常是解决某些问题“疑难”问题的有力工具.英国近代数学家哈代（Hardy,1877-1947）增经这样称赞它：“…归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一字以取得优势的让棋法，它还要高明.象棋的对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”