圆锥曲线的易错类型题剖析

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圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考命题的一个热点.圆锥曲线题目涉及的知识面广，综合性强，在解题过程中稍有疏忽就会出现错误.下面以双曲线为例将最常见的错误解法举例说明，并进行错因剖析.

一、在涉及直线与圆锥曲线位置关系时，忽略联立后所得方程的判别式的情况.

1.中点弦问题使用“点差法”不注意直线存在的条件.

例1：已知双曲线x-=1，问过点A（1，1）是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由.

错解：设符合题意的直线l存在，并设P（x，y），Q（x，y），

x-=1x-=1？圯（x-x）（x+x）=（y-y）（y+y）.

由A（1，1）为PQ的中点，x+x=2，y+y=2，直线l的斜率k==2，

符合条件的l直线存在，其方程为：2x-y-1=0.

错解分析：以上解法中忽略了直线的存在性，故必须结合题意进行验证.

正解：在上述解题的基础上，由y=2x-1x-=1得2x-4x+3=0，再由Δ=-8

点评：在运用“点差法”处理圆锥曲线中点弦的问题时，虽然这一方法简单快捷，却无法证明这条直线一定会与曲线相交，故必须进行验证.

2.直线与圆锥曲线交点问题（或弦长问题）不注意直线的斜率存在与否和的存在与否.

例2：已知双曲线C：x-=1，过点P（1，1）作直线l，使得l与C有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

错解：设直线l的方程为y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，与x-=1联立消去y，得

（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

要直线l与C有且仅有一个公共点，必须=（2k-2k）-4（4-k）（-k+2k-5）=0，解得k=. 故满足条件的直线l只有一条，选A.

错解分析：以上解法有三个问题，一是双曲线与直线只有一个交点，除了利用=0得出相切的一条外，还有与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个交点；二是利用=0时，必须以一元二次方程的二次项系数不为零为前提；三是设直线点斜式时，还要考虑斜率不存在的情况.

正解：（1）若直线l的斜率不存在，即l：x=1，它与双曲线的右支相切于顶点（1，0），故l：x=1满足条件.

（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，与x-=1联立消去y，得（4-k）x+（2k-2k）x-k+2k-5=0.

①当4-k=0，即k=±2时，直线l平行于渐近线，与双曲线也只有一个交点，故l：y=2x-1和y=-2x+3也满足条件；

②当4-k≠0，即k≠±2时，由=0得k=，故l：y=x-也满足条件.

综上所述，满足条件的直线l共有四条，故应选D.

点评：在解题过程中，根据题型特征，优先考虑问题的某些方面，可以有效地防止错解和漏解，分类讨论是解决这个问题的关键.

二、求参数范围时忽略一些隐含条件：诸如曲线上的点的坐标范围、直线的斜率范围、代数式本身的范围等.

例3：已知双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.

错解：由已知，有e=1+==

解之得：a=3，b=1

所以双曲线方程为-y=1.

把直线y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：（1-3k）x-6kmx-3m-3=0

由题意得=m+1-3k>0（1）

设CD中点为P（x，y），则APCD，且易知：

x=，y=

所以k==-

？圯3k=4m+1（2）

将（2）式代入（1）式得m-4m>0，

解得m>4或m

故所求m的范围是m∈（-∞，0）∪（4，+∞）.

错解分析：上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将k=代入（1）式时，m受k的制约.

正解：因为k>0所以m>-，故所求m的范围应为m>4或-