问题式教学在课堂

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一、创设情境，引入新课

教师：在初中，我们学习了一元二次方程，也学习了二次函数及其图象，现在请同学们完成下列表格：

教师：问题1，一元二次方程的根与其对应二次函数图象有什么关系？

学生：方程的根是函数图象与x轴交点的横坐标。

教师：问题2，若把上述方程改为一般的一元二次方程及对应的二次函数，还成立吗？

学生讨论，得出：

（1）？驻>0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）；

（2）？驻=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一个交点（x1，0）；

（3）？驻

教师：问题3，把这种关系推广到更一般的情形函数y=f（x）的图象与对应方程f（x）=0，还成立吗？（鼓励学生用已学过的函数去验证）

二、过程感知，得出概念

教师：函数零点的概念：

对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

由我们上面的讨论可知：方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图象与x轴有交点？圳函数y=f（x）有零点。

教师：问题4，零点是点吗？

学生：不是，是实数。

教师：问题5，求零点的方法

师生共同探讨得出：

（1）令f（x）=0；

（2）求y=f（x）与x轴交点的横坐标。

教师：总结，由上可知，我们遇到零点问题可以从数和形两个角度去考虑。遇到方程可解，求零点就是解方程，如一次函数、二次函数、对数函数、指数函数。若不是这些函数呢？

教师：问题6，探讨f（x）=lnx+2x—6的零点个数。

学生：解方程无法解，画图象不好画，两个角度都不行。

三、层层设问，加深理解

教师：请同学们再返回我们刚开始的问题1中，认真观察零点左右的函数值有什么变化。

（学生讨论）

学生1：y=x2—2x—3中f（—2）·f（1）

学生2：y=x2—2x—3中f（2）·f（4）

教师：那么能不能说当f（a）·f（b）

学生1：好像可以。

学生2：有点问题，如f（x）中f（—1）·f（1）

教师：很好，那什么情况下就一定有零点呢？

学生讨论，得出零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）

学生：问题1中，f（x）=x2—2x+1有零点1，但f（x）≥0。

教师：问得好，这里反映出一个问题，也就说只有当函数图象穿过x轴，上述方法才有效，才可以用这个方法去找函数的零点。反过来，函数在[a，b]上有零点，不一定有f（a）·f（b）

教师：问题7，若f（a）·f（b）

学生：不一定，如图所示，可能有还多个零点。

教师：问题8，那么什么时候只有一个零点呢？

学生：函数图象不拐弯时。

教师：不拐弯说明函数有什么性质？用我们学过的数学语言怎么表述？

学生：当函数单调时。

教师：现在我们来解决问题6，f（x）=lnx+2x—6的零点个数。

学生：显然定义域为{x|x>0}，

f（1）=—40，

f（1）·f（3）

f（x）=lnx+2x—6在（1，3）上有零点。

又因为f（x）=lnx+2x—6在定义域上是增函数，所以只有一个零点。

四、通过练习，巩固概念

练习：探讨下列函数零点所在区间。

（1）f（x）=—x3—3x+5

（2）f（x）=2x·ln（x—2）—3

（3）f（x）=ex—1+4x—4

教师：今天我们收获很大，从我们最熟悉的二次函数和一元二次方程出发，探究了方程的根与函数零点的关系，并且得出零点的存在性定理，既解决了找寻一般函数的零点问题，又为我们后边学分法打好了基础。

思考题：还能从其他角度解决f（x）=lnx+2x—6的零点问题吗？请同学们课后思考。

五、课后反思

本节课是教材新加入的东西，用函数的观点来看待方程，这是一种重要的数学思想，这种思想可以帮助我们发现求解方程的多种方法，所以必须让学生在学习之初就树立正确思想。为此，我采用了问题式教学，用已有知识去探究新知识，然后层层递进，让学生在很自然的状态下不知不觉地接受新知识，问题的设置也是水到渠成，设置的台阶不是很高，让学生刚好能探到，遇到比较难的地方，我也有意把它分解，所以整节课过程紧凑、节奏感强，学生对课内知识应当理解透彻了，课后也证明了这一点。

值得的商榷的是，实际上，本节课的内容还有外延，怎样能让学生发现并努力去解决呢？也就是说利用问题式教学，要想最大限度培养学生观察、归纳的综合能力，除了用问题引领学生思考探究，还有没有更为开阔的课堂模式能让学生主动学习、主动寻求问题，给学生更大的自由发挥的空间呢？在以后的教学中，如有合适的课型，我一定努力尝试，争取在讲求课堂教学多样化的同时，更加注重学生主动探究、主动解决问题的能力，让老师轻松地教，学生高效地学。

（作者单位 山西省临汾市第一中学）