函数思想贯穿高中数学

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函数是高中数学第一个比较抽象，难理解的概念之一。它描述了自然界中量的依存关系，通过刻画现实世界中量与量之间的数量关系，反映了一个量随着另一个量变化而变化之规律。函数的思想方法就是提取问题的数学本征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。

函数是一门应用非常广泛的数学工具，因此它也是中学数学中的一个重要内容。其重要性不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。纵观整个中学教学内容,函数的思想便如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在了一起,构成有机的知识网络。它几乎贯串于整个中学数学, 无论是不等式，还是数列，无论是三角函数，还是集合，都可以看到它的影子。一些看来与函数风马牛不相及的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以简化解题过程，突破思维死角，进而解决问题.下试举几例，供有意者飨之。

一、函数思想在集合相关问题中的应用

例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N= 。

析：此题主要考察集合N中元素为y，即二次函数y=3x2+1的值域为 [1，+∞]，可知答案为{x|x＞1}。

②已知全集为I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范围。

析：此题主要考察二次函数y=x2-2ax+a≤0解集的情况。

解：当＜0即0＜a＜1时，满足条件。

当=0时，a=0或a=1。

若a=0，则x=0，不满足题意。

若a=1，则x=1，满足题意。

当＞0时，两个解必须在[1，2]内，即有：

综上所述，0＜a≤1

在集合相关问题中，一元二次不等式、一元二次方程的题目随处可见，它们相互转化，许多时候都需求出一元二次不等式解集的情况，难度虽不高，但往往会因考虑问题不全面而失分，应引起重视。

二、函数思想在证明不等式中的应用

例2：设a，b∈R，求证：

析：直接采用不等式变换去证明还是比较不容易的。然而观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，因此可否构造函数，而后应用该函数的单调性求解呢？

令，由易知：f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，

因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）

即

巧妙极了！直接绕开了繁琐的变形与计算，整个解题过程显得非常简洁。不但使学生拓宽了眼界，提高了能力；而且带来了一种心情上的惊奇与精神上的震撼，使他们深深的体会到数学的奇妙，提高了学习数学的兴趣。

例3：[1993年全国高考理（29）] 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β。证明:如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b

析：作一次函数 α+β

=-a，αβ=b， ，取x1=2（α+

β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）＜0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）＞0，则有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的单调性知-1=f（x1）＜f（0）＜f（x2）=1，即

又|b|=|α||β|＜4，4+b＞0，2|a|＜4+b。

函数的思想在历年的高考题中，一直是必须考察的重点之一。而考虑到不等式与函数的特殊关系，我们必须对这种题型加以足够的重视。本题通过构造一次函数，巧妙的将不等式问题化为函数问题来解决，整个问题得以轻松解决。

三、函数思想在数列相关问题中的体现与应用

例4：设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由。

【分析】题（1）根据题设条件列出关于公差d的不等式组求出d的取值范围；题（2）求等差数列的前n项和的最大值，其求法比较多，总的思路有如下2种：一是通项研究法，即当d＜0时，求出使得an>0且an+1

解不等式组得：－

（2）解法一：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+10，S13

=13a7－a7>0，a7

解法二：

当－

解法三：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1

故S6最大。

【评注】 本题考查等差数列、不等式等知识，利用解不等式及二次函数的图像与性质求Sn的最大值，这是函数思想在数列中的一大表现。

四、函数思想在三角函数相关问题中的应用。

例5：已知函数f（x）=-sin2x+sinx+a，当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围。

析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根据该等式如何求a的取值范围呢？当然可以换元，设t=sinx，将问题转化为一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布问题。但是，总是觉得太麻烦了，经深思后，觉得可以先作如下变形：

分离a得：

如果把a看成是x的函数，问题转化为求函数的值域。

因为sinx∈[-1，1]，所以

故当时，f（x）=0有实数解。问题轻松解决。

当然，函数思想还涉及到其他方面：比如立体几何、解析几何等。高考中对函数思想的考查，大都与其它知识相结合，以综合题形式出现，在平时得教学中，应注重函数与方程、不等式、数列、集合之间的联系。注意它们所体现的知识综合的形式，只有平时注重知识积累，才能举一反三，触类旁通，将复杂问题化归为简单问题，从而解决问题，提高学生综合运用知识的能力。