函数单调性的应用

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灵活运用函数单调性定义，充分发挥它的功能可以解决许多问题，下面举例说明.

一、证明函数单调性

例1.用单调性定义证明函数f（x）=-x+1在R上是减函数.

解析：任取x，x∈（-∞，+∞）且x＜x则

f（x）-f（x）=-x+1+x-1

=（x-x）（x+xx+x）

x＜x?摇?摇x-x＜0

当xx＜0时，x+xx+x=（x+x）-xx＞0

当xx≥0时，x+xx+x＞0

f（x）-f（x）＜0?圯f（x）＜f（x）

f（x）=-x+1在R上是减函数.

二、求单调区间

例2.求函数y=log（x+3x-10）的单调区间.

解析：由x+3x-10＞0?圯x＜-5或x＞2

令y=logu，u=x+3x-10=（x+）-12

当x∈（-∞，-5）时，x?邙?圯u?邬?圯y?邙

当x∈（2，+∞）时，x?邙?圯u?邙?圯y?邬

函数的单调性区间是（-∞，-5），单调区间为（2，+∞）.

三、比较大小

例3：已知偶函数f（x）在［1，4］上单调递减，试比较f（log8）与f（3）的大小.

解析：f（log8）=f（3）?摇?摇 f（3）=f（）

f（x）是偶函数f（-3）=f（3）

而1＜＜3，由f（x）在［1，4］上单调递减

即有f()＜f（3）=f（-3）

f（3）＞f（log8）

四、求值域

例4：求函数y=?摇?摇x∈［1，2］的值域.

解析：在区间［1，2］上函数y=是单调递减函数.

≤y≤3

函数y=的值域为{y|≤y≤3|}.

五、解不等式

例5：解不等式log（x-4x+3）＞-1.

解析：当x-4x+3＞0时原不等式变为式log（x-4x+3）＞log3

函数y=logx为减函数

x-4x+3＜3

原不等式等价于不等式组x-4x+3＞0x-4x+3＜3

解得0＜x＜1或3＜x＜4

原不等式的解集为{x|0＜x＜1或3＜x＜4}.

六、证明不等式

例6.已知0＜a＜（R≥Z，R∈N）且a＜a-b.求证：b＜.

解析：由条件b＜a-a=-（a-）+

记f（x）=-（a-）+.

当x∈（0，）时f（x）为增函数.

R≥2?摇?摇?摇?摇，0＜a＜≤.

故f（a）＜f（）.

从而b＜-（a-）+＜-（-）+

=-+=＜=.

七、求参变数的范围

例7：已知奇函数f（x）=-x在R上是减函数，设对一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0总成立，试确定k的取值范围.

解析：对一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0总成立.

即有2x-4x+3＞kx-2kx?圯2x-kx+（2k-4）x+3＞0对一切x∈R成立.

当k=2时，不等式为3＞0，对x∈R成立.

当k＜2时，只要=（2k-4）-12（2-k）＜0?圯k-k-2＜0?圯-1＜k＜2

k的范围是（-1，2］.

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