分类讨论思想在函数教学中的渗透

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【摘 要】分类讨论思想是高考数学考试说明中明确要考查的四大基本数学思想之一，常应用在函数问题中，学生在熟知函数的相关概念和性质后，教师有必要在教学时渗透分类讨论的思想方法，引导学生找到分类的动机，即明确分类的目的。

【关键词】函数教学 分类讨论 分类的动机

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）02-0057-02

一 引言

分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一，分类讨论在函数中体现为两方面，一是函数解析式的分段讨论，二是含有参数的函数问题。学生遇到此类题时，要么束手无策，要么认为题目有问题，无法解或无解，没法明白分类的动机，分类时出现困难。可见学生对分类思想方法掌握不好，因此，分类思想既是老师教学的重难点，也是学生能力的体现。

二 分类讨论思想的涵义

当我们遇到的问题中的条件不足以得到一个确定答案或好像无法求解时，就是用分类讨论的思想方法求解的时候了，把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理，综合对这些小问题的解答，便可推证出原问题的结论。这个过程就叫做分类讨论，这种思想叫做分类讨论思想。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，就增加了问题的定解条件。即分类讨论是“化整为积，各个击破，再化积为整”的教学策略。

三 分类讨论的动机探究

请看下面的例子：

例1，求函数f（x）=│x-1│+│x+2│的值域。

探究如下：

学生：看起来不好入手解题，它不是基本初等函数的类型，而是与x相关的两个绝对值。

教师：常见的函数没有绝对值，因此有必要对解析式进行化简，化简的目的是去掉绝对值，怎么去掉绝对值呢？

学生：绝对值里面的正负是关键，如果知道x-1，x+2分别与零的大小，就可以去掉绝对值符号。

教师：大小关系有多少种情况呢？

学生：有（1） ，或者（2）

教师：除了这两种情况，还能有其他的情形吗？

学生：还可以是一正一负（3） ，或者（4） 。

教师：分成以上四种情况，但是（4）无解集所以得排除。

学生：（1）当x≥1时，f（x）=x-1+x+2=2x+1；（2）当-2

综上有 ，作出图像得到值域为

[3，+∞）。

总结：当学生的思维受到局限时，教师可以使用问答的方式一步一步地引导学生解决疑难，可以适当增加条件限制变量的范围来确定解析式，从而达到化简的目的，把不熟悉的问题转化成熟悉的问题，提高学生的逻辑思维能力。所以要学生会用分类讨论的思想方法来解题，首先要知道的问题是在什么情况下要考虑到分类讨论？其次是明白为什么要分类讨论？分类之后会有哪样的优势？也就是明确分类的动机。我们面对的很多数学题以及生活中碰到的很多问题，因为有一定的变数而使结果模糊，当我们把变数明晰化，实际上就是增加一个或多个定解条件时，就可以得到确定的答案。

四 函数分类的情形

函数分类讨论大致分为两类，一类是分段函数，分类讨论后才能进行解答；一类是函数的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题。如函数性质中根据奇偶性的分类，对某个区间上的单调性讨论；一次函数、反比例函数中参数k的情况与单调性讨论；二次函数的参数讨论以及动的对称轴；指数函数和对数函数中对底数的分类讨论；幂函数的幂指数对函数性质的影响；三角函数中依据角所在的象限对三角函数符号的分类；以及三角函数的定义域；等比数列前n项和q=1，q≠1的讨论；直线的截距，两直线的位置关系与k之间的不确定性；导函数的单调性与参数的不确定性讨论等。

例2，（2013年山东）已知函数 （e=2.71828…

是自然对数的底数，c∈R）。（1）求f（x）的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程│lnx│=f（x）根的个数。

分析：（1）利用的是导函数来讨论单调性；（2）题是在（1）的基础上，有绝对值的形式，根据绝对值里面lnx的正负进行讨论，因此分段是关键，题目根的个数就转化成一个分段函数的零点问题，而零点的确定需要知道图像的大概走势，也就是利用导函数求函数的单调性，利用最小值来和0做比较。

解析过程：

（1）f'（x）=e –2x（1-2x）易知f（x）在（-∞， ）

递增，（-∞， ）递减且f'（ ）=0，f（x）有最大值

。

（2）设g（x）=│lnx│-f（x），则方程的根就转化为函数g（x）的零点，求方程根的个数就是求函数的零点个数，

则 ，由导函数知，当x≥1时，

函数单调递增，当0

综上当x∈（0，+∞）时，都有g（x）≥g（l）=-e-2-c。

思路点拨：既然g（x）有最小值g（l），那么g（l）与0的大小情况如何？（1）当g（l）=-e-2-c>0时，函数图像与x轴没有交点，即c

知g（x）=lnx-xe-2x-c≥lnx-（ e-1+c）>lnx-1+c，要

使g（x）>0，lnx-1-c>0，即x∈（e1+c，+∞）。

当0

>-lnx-1-c，要使g（x）>0，只需要-lnx-1-c>0，x∈（0，e-1-c）。

综上当c>-e-2时，g（x）有两个零点，即方程有两个根。

总结：例题中讨论根的情况转化成函数的零点问题是一大难点，一部分学生在分段得到最小值后就不知如何继续，没有找到分类的动机，感觉手忙脚乱，因此怀疑自己的解题思路，最终不能将解题进行下去。还有学生在（3）中不知如何设定情况继续讨论，在大的前提下又进行分类讨论，是学生的薄弱点，拿捏不好分类的尺度，因此在讨论时把握分类的动机，明确分类标准非常重要。

五 分类讨论的标准

要有明确的分类标准：对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。

例3，（2010年全国I）已知f（x）=3ax4-2（3a+1）

x2+4x。（1）当a= 时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在

（-1，1）是增函数，求a的取值范围。

解：（1）略。

（2）易知f'（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），在（-1，1）上f（x）是增函数，当且仅当f'（x）≥0，x

思路：这是一个一元二次不等式吗？不一定。

（1）当a=0时，有-1≤0成立；

（2）当a>0时，要满足条件则需3a·12+3a·1-1≤0，

解得a≤ 。所以，00的前提下，是且的

关系，最后取两者的交集）。

（3）当a

=（3a）2-4·3a·（-1）≤0，解得 ≤a≤0，所以有

≤a

综上，a的取值范围为 。

（三种情况都满足条件，是或的关系，所以为三个结果的并集）

总结：本题容易忽视分类讨论或讨论不到位是出错的关键，对于分类结果的表示不周全，以下是分类讨论结果的表述：求某个未知量，如果对这个未知量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求某个参变量，如果对这个参变量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求未知量，若对参变量进行分类讨论，由于每类情况的前提条件不同，那么各类的结果应分类表述，所求未知量要同时满足各种前提，则应对各种分类讨论的结果求交集。

六 教学启示

分类思想是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法，它贯穿于各类知识之中，在教学的各个阶段都起着重要的作用。分类的过程，可培养学生思考的周密性与条理性，而分类讨论，又有助于提高学生研究问题，探索规律的能力。分类思想不同于一般数学知识，通过几节课就可掌握，有很多是依赖经验和解题的习惯。因此教师在备课时应有意识地结合具体教学内容，渗透分类思想，养成分类的意识，把分类思想方法融入到具体教学过程中；在解题教学中让学生进一步学习分类方法，增强思维的缜密性，提高合理解题的能力。教学中应掌握化隐为显、循序渐进、学生参与的原则，并且反复渗透、适时突破。如前面例子中对a进行分类，可采用提示语引导学生：为什么这样分类？分类后有什么优势？分类的标准是什么？

学生的主体地位即是让学生成为学习的主体，教师在整个教学过程中只是发挥引导和点播作用。在教学过程中，教师可以通过分类讨论来充分发挥学生在学习过程中的主体地位；老师对分类思想进行讲解以后，可以引导学生自己来对已经学过的知识进行分类探讨，特别是针对学生容易出错的知识点，让学生通过讨论来对这个知识点有更加清晰的认识，对出现的错误进行总结，将知识点的欠缺归纳到每一个知识类别上，这样有助于学生自身知识体系的完善，在平时的教学中要有意识地引导学生感悟和体验分类在解决类似问题中的积极作用。但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题做深入研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，再寻求讨论，使问题更简单。

参考文献

[1]曹贤鸣、阮孟国.分类讨论及其应用[J].中学数学教学参考，2002（8）

[2]钱珮玲编.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，2008