“梯子下滑”背后的玄机

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇“梯子下滑”背后的玄机范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

一次，我随学校数学组在八年级某班听公开课。教师讲到“梯子沿墙下滑”问题时，特意将书本上的探究例子改变了数据对学生进行分组训练：

“如图，一长10米的梯子AB斜靠在一竖直墙壁AO上，梯子顶端A与底端B可自由滑动。已知：OA=8米……”

很快三个小组的学生就给出了答案：

第一组：若顶端A下滑1米，则底端B外滑（51-6）米；若底端B外滑1米，则顶端A下滑（8-51）米。

第二组：若顶端A下滑2米，则底端B外滑2米；若底端B外滑2米，则顶端A下滑2米。

第三组：若顶端A下滑3米，则底端B外滑（53-6）米。若底端B外滑3米，则顶端A下滑（8-19）米。

看到学生掌握的还不错，教师将这类问题的解法简单的程序化了一下，让学生自由发言，把心中的疑问提一下。这时一个男生提了这样一个问题：从上面三个题目的结果来看：

学生的直观感觉是，梯子顶端下滑多少，梯子底端就该下滑多少。可为什么下滑值与外滑值有些一致而有些却不一致？

教师没料到自己随便编排的数据竟有如此的意外的结论，情急之下只好三言两语将这个问题搪塞了过去。

下来仔细推敲了一下，惊奇地发现：看似平常无奇的“梯子下滑”问题背后竟也隐藏着巧妙的数学玄机。

“梯子下滑”问题归根到底是个勾股定理的应用问题，现给出右图一个演示模型来分析其“下滑值与外滑值”之间的关系变化奥秘。

如下图，设一Rt两直角边长分别为a和b（a>b）.斜边长为c.令其较大直角边a逐渐减小（类似于下滑），减小量为m（0

由勾股定理可得：

（a-m）2+（b+k）2=c2=a2+b2

化简得

k2+2bk=-（m2-2am）=a2-（m-a）2

（1）m=a-b时（即下滑值=较大的直角边-较小的直角边）。可得：k2+2bk=-【（a-b）2-2a（a-b）】=a2-b2

即（k+b）2=a2由于k、b、a均为正值。

故k+b=a，即k=a-b

此时，m=k=a-b（即下滑值=外滑值=两直角边之差），不难看出，此时两个Rt刚好全等。

（2）当m>a-b时（即下滑值>两直角边之差），则易知0>m-a>（a-b）-a

k2+2bk=a2-（m-a）2>a2-（a-b-a）2

即k2+2kb>a2-b2移项，得（k+b）2>a2

故k>a-b

由m>a-b可得a

故k2+2bk

化简得；k2+2bk

即（k+b）2

所以k+b

即m>k

所以，当m>a-b时，m>k>a-b.也就是说：当“下滑值大于两直角边之差”时，“外滑值小于下滑值”。但同样“大于两直角边之差”。

（3）当0

即0

而由mm+b.于是由k2+2bk=2am-m2

可得k2+2bk>2（m+b）m-m2

解得（k+b）2>（m+b）2所以，k+b>m+b

即k>m

所以，当0

综合（1）（2）（3）所得，可得“梯子下滑”问题中有关“下滑值与外滑值大小”的一个一般性结论：

当梯子从一个较长直角边向下滑动时（这个前提决不能少），若“下滑值下滑值；

若“下滑值=两直角边之差”时，外滑值=下滑值；

若“下滑值>两直角边之差”时，外滑值

明白了上述结论，上边那个学生的疑问就可以迎刃而解了，由于题目中两直角边分别为8米和6米（差为2米）。

当梯子下滑1米1），（1>8-51）。

当梯子下滑2米=2米时，外滑值应等于下滑值（2米=2米）。

当梯子下滑3米>2米时，外滑值应小于下滑值（53

上边的教学案例对我触动颇大。这几年总觉得教数学就是教学生怎样解题，怎样应考，怎样得高分。所以经常关注的是某块知识，某个定理该怎样应用，恨不得把每类知识都归纳成计算机程序让学生记记背背。那堂公开课上，那个小男孩的细心和疑问精神实在让我汗颜，教了近十年的数学我竟没有发现一个只需要有一些喜欢数学的兴趣和正常人的细心就连学生都可以发现的数学秘密。是不是同样的课程教的久了，我也变成了以前连我自己都曾不屑一顾的“教书匠”了？

参考文献

[1]“梯子沿墙下滑问题”可见于人教版八年级《数学》下册“勾股定理”章的探究