折扣引路,函数作纲,投影相伴,贯通三角
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摘 要：三角函数概念在教学中有太多的疑惑和不解，教师经常会觉得“讲不通”. 笔者根据教学实践，阐述了一个能够将初、高中三角函数定义更好的衔接起来的一种定义方式，即引入投影、折扣率等新鲜的模型，将函数定义进行了改进并且还阐述了笔者认同这种改进的理由.
关键词：三角函数概念；困惑；折扣率；投影定义法
三角函数在高中数学中有着重要的地位与作用. 因此，学生深刻理解三角函数的概念尤为关键.在初中，定义了锐角三角函数.到高中，一般来说有“单位圆定义法”和“终边定义法”两种定义（苏教版用“终边定义法”引入三角函数，而人教版则用“单位圆定义法”引入三角函数）.教材中不管采用哪种定义，实践证明，教师在教学中有很多的疑惑和纠结.
背景
来自一线从教多年的教师（四位高中教师和二位初中教师）与数学教育专家张奠宙教授一起，对三角概念进行了有益的探索与讨论.
1. 一线教师的困惑
偶伟国（苏州太仓高级中学）：在直角三角形中，锐角的正弦是对边与斜边的比值. 高中从锐角推广到任意角的三角函数，锐角放到第一象限，学生可以解释和理解，如果角推广到钝角甚至到任意角就很难用“正弦是对边与斜边的比值”来说明和解释. 近日，听了一节《任意角三角函数概念》省级公开课，教师请学生先操作，再探究与讨论. 第一象限可以用类比的方法，终边上任意一点，利用两个三角形相似、比值不变性定义三角函数. 至于推广到任意角三角函数，没有探究出“所以然”. 只说是类比，那怎么类比呢？讲不通道不明，就一笔带过，弄得学生不明不白，一头雾水.
2.?摇 张奠宙教授谈三角
三角函数怎么教？三角函数的背景如何？对边比斜边的值是不变，是描述性理解，只要记住就行，但还要确认过.
（1）投影、折扣率与三角比
如果按照过去的办法来教，什么叫正弦？对边比斜边的比值. 这个东西将来有什么用处，怎样测量. 正弦的定义是怎么来的是不管的，知其然，不知其所以然. 将来慢慢地用到，才明白定义的作用.
三角函数与三角比问题，能不能借助折扣率理解三角比？是新鲜事，张景中院士提出来希望将此观点编入教材. 正弦、余弦原来就是折扣率，一个梯子放在墙上，它的投影的长与梯子长的比就是正弦. 角度一样，两个梯子平行，梯子长了它的的影子也长了，梯子短了它的影子也短了. 但它的折扣率是一样的，如都打了个八八折等，反映出比值的不变性. 这个是核心，是关键性问题.折扣率的重要性在于到高中以后的单位圆中得到正弦线、余弦线、正切线就是投影.由此可以画出三角函数图象，得到它的性质. 影子长度关系全局，它不光是生活的原型，在整体的数学上来看，它贯穿三角函数知识的全部. 从影子的长度来看，比值一样折扣率也一样，折扣率随着角度的变化而变化就是三角函数. 单位圆里斜边为1，所以投影就是折扣率，正弦线等于折扣率.
（2）三角比的现实生活原型
三角比在目前的教科书中没有生活原型. 折扣率可以作为生活原型，这个观点的提出有它的价值与意义. 例如与面积的关系问题，为什么面积公式为absinC，面积为什么会与sin连在一起？对它要有一个整体的认识. 直角三角形如果一歪的话，面积里面就出现sin. 边a上的高等于bsinC，就是b在边a的高线上的投影.
（3）从斯根普（R.Skemp）理解分类剖析三角
三角比是一种语言，本来正弦就是对边比斜边的比值. 正弦是一个名词，为了我们今后讲话方便起见，这个比值被单独赋予了一个名称. 以后讲正弦是同角有关的一个函数时，工具性理解分三类：第一类是记忆的，即记住这个知识，sinA就是对边比斜边的比值，记住就达到目的. 第二类是描述性的，原来的对边比斜边的比值，比值是不变的. 通过三角形相似的知识来解释比值的不变性. 第三类是确认性的，即你量一量线段的长度，算出比值确实是不变的，只要角度不变，随便你怎么放大，对边比斜边的值总是不变. 确认了就好了. 至于进一步的理解，后面也有三层：一层是结构性的理解，就是对边比斜边，还有邻边比斜边，对边比邻边等共六个三角函数，这是一种结构. 这个结构建筑在相似三角形之上，没有相似三角形三角函数就出不来. 不能笼统地说三角函数是陡度，因为陡度是讲一个倾角或一个仰角就可以了. 三角函数要比陡度要更进一步，因为三角函数有比值的问题. 第二层是过程性理解，它是怎么来的？原始是怎么定义的？当时是怎么想到的. 我们是不是需要这些过程？学生解题可以不需要. 第三层是思想方法的理解，三角比的价值在于将三角、代数、几何联系在了一起，它的形式化表达是怎么样的？可以将这些提炼成数学的思想方法，这样的理解是最高层次的.
改进
能不能把初中锐角三角函数概念作为高中任意角三角函数定义的铺垫？能否将高中任意角的“单位圆定义法”和“终边定义法”形成统一的定义？笔者进行了以下的探索.
1. 建议初中引进投影概念
如图1，在RtABC中，斜边AB在α的另一边上的投影为AC=ABcosα，在与AC垂直的直线上的投影为BC=AB sinα. 在锐角ABC中，AB投影分别为AD与DB（如图2）. 在钝角ABC中，α为钝角，AB投影分别为AD与DB（如图3）. 特别注意的是当AD在AC的反向延长线上时投影值为负数. 投影与射影不同，投影值可以为负数、正数和0.
2. 改进初中锐角三角函数定义
?摇?摇如图1，在RtABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin∠A=.
改进为：在RtABC中，∠C＝90°，把锐角A的斜边在直线BC上投影与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin∠A==折扣率.
三角比的现实生活原型为斜边在直线BC上投影的折扣率. 定义的关键是找出这个角的另一边和该边所在直线垂线上的投影，还要注意投影的正负性. 锐角在直角边上的投影不可能在反向延长线上，因此锐角三角函数的值为正.
3. “单位圆定义法”与“终边定义法”合并起来改进为“投影定义法”
在人教版《普通高中实验教科书・数学4・必修（A版）》中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：
如图4，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
图4
（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．
图5
改进为：如图5，设α是一个任意角，它的终边取一点P（x，y），令OP=r=1，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
（2）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）.
说明：（1）y，x的几何意义分别是OP在铅垂方向、水平方向的投影.
（2）α的正弦是OP在铅垂方向投影对于OP的折扣率. 因为分子、分母同时扩大的倍数相同时折扣率不变，所以函数值与点P在终边上的位置无关.
（3）折扣率分母为1，就是“单位圆定义法”，此时P（cosα，sinα）. 折扣率分母为r，就是“终边定义法”，此时P（rcosα，rsinα）. 点P的横、纵坐标分别是OP在水平方向与铅垂方向的投影.
理由
用折扣率定义锐角三角函数和用投影定义任意角的三角函数有许多优点.
1. 整合概念，彰显本性
“单位圆定义法” 中自变量与函数值之间的对应关系 ，有函数的“味道”.能简单、清楚突出三角函数最重要的性质――周期性. “终边定义法”在引入时的自然与和谐，然后特殊化为“单位圆定义法”，也受很多教师的青睐. 整合两种定义，合并成“投影定义法”. 更突出了两个定义的一致性. 因此，“投影定义法”既有“单位圆定义法”的直截了当、理解本质，又有“终边定义法”的逻辑严谨、便于教学. 如此整合概念，适应了认知规律，体现了初、高中教材的连贯性，彰显了编者与教者的智慧和匠心，突出了三角的本性.
2. 解决疑惑，便于理解
根据现有教材，教师的疑惑主要有三个方面：①“单位圆定义法”中，交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求. ②“单位圆定义法”和“终边定义法”不利于解释将锐角三角函数推广到任意角三角函数的因果关系. ③“单位圆定义法”不利于解题. 如在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a，4a），求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便. 在“求的正弦、余弦和正切值”时，用“终边定义法”就不方便了，用“单位圆定义法”就有优势.
概念形成一般遵循：“历史发展、概念本质、认知规律、便于应用”的原则，可见，“投影定义法”定义任意角三角函数是适当的. 如锐角三角函数推广到任意角三角函数，引进投影，由于投影可以取正、负、0，锐角推广到任意角三角函数显得和谐、自然、易懂. 这样就能突出重点，突破难点，解决疑惑.
3. 构建知识，凸显思想
“投影定义法”有利于构建任意角的三角函数的知识体系. 自变量α与函数值x， y（x轴上的投影与y轴上的投影）的意义非常直观且具体，三角函数线与定义有了直接联系，克服了教学上的一个难点. 由此，使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等.
我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象成一条细线. 三角函数定义中取OP=1，P在单位圆运动时，正弦值是OP在y轴上得投影，且投影y的变化范围为［-1，1］线段上伸缩，P的坐标为（cosα，sinα）. 取OP=r，P的坐标为（rcosα，rsinα）与半径为r的圆的参数方程x=rcosα，y=rsinα（α为参数）相关联.
4. 符合历史，找回原型
三角函数发展史表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，曾被称为“圆函数”. 但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉在《无穷小分析引论》一书中首次给出的. 在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的.所以，采用“投影定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程. 又能与时俱进地发展概念. 对于锐角三角函数定义，张景中院士提出：边长为1的菱形它的面积就等于sinA. sinA是对于边长为1的正方形压扁成菱形的折扣率.三角形的面积为什么不是两边相乘，而一定要乘以高，因为它矮了，所以要乘以一边上的折扣. 直角三角形两个直角边相乘就好，一弯的话就不能这样做，相差一个折扣. 打折扣，打多少？就是这边上的高（投影）. 初中的平面几何中三角形的高与正弦有关，其本质反映了投影与面积的关系.
“投影定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图象奠定了很好的直观基础. 不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和、差公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和、差化积公式也是圆的反射对称性的解析表述.
另外，向量数量积中（如图4），b在a方向上的投影为OP=bcosθ=∈R（注意OP是射影），所以a・b的几何意义是a・b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积. 再如，S=acsinB=bcsinA，即a和b分别在边c垂线上的投影与c的积乘以就是这个三角形的面积.在解三角形中，已知二边和其中一边的对角会产生一解、二解和无解问题，其本质就是对投影与一边的大小进行讨论.总之，在学习三角时，只要脑子中有投影，所有内容就好学易懂了.
说明
三角函数概念教学是困惑笔者多年的一个心结. 和所有一线教师一样，笔者有太多的疑惑和不解. 在处理教材时，笔者一直补充“投影定义法”来帮助学生理解三角函数知识，多年实践证明教学效果良好. 这是由于学生不是死记硬背一些结论，而是在弄清知识的来龙去脉后的基础上形成了知识体系. 当然，“投影定义法”需要在教学实践中不断地完善，让我们一起来尝试和探索吧！