化归思想在高中数学解题中的应用

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一、 化归的必要性

在长期的教学活动中我发现一个学生普遍存在的问题，尤其在数学复习教学过程中，总是有很多学生反映，虽然他们平时进行了大量的解题训练,但在考试中都会遇到一些似曾相识，但实际上又不能完全解答出来的题目.而在讲评试卷之后才恍然大悟，实际上可以把原题转化为我们熟悉的一些题型，并可用一些常规方法来解题.其实，这是学生没有很好的掌握数学思想中的化归与思想，只是为解题而解题，没有及时地总结和反思，没有掌握解题的方法与技巧.

二、 化归思想的实质

所谓化归与转化的思想方法，是指在解决数学问题时，采用某种方式方法将问题等价转换.一般是将生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，具有灵活性和多样性，没有统一的模式.在实际操作中，按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟.经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），并通过对熟悉问题的求解，达到解决原问题的目的.

三、 化归思想的基本形式：

化归思想主要有以下几种基本形式：1. 数与数之间的转化，2. 形与形之间的转化，3. 数与形之间的转化.下面我们就以这三种基本形式来谈一谈数学中的化归思想.

1. 数与数之间的转化

例如计算某个算式或化简某个解析式得出结果；对所给出的方程或不等式变形后求解；以及函数、方程、不等式之间的互相转化等等.

例1 已知2(log12x)2+5log12x-3≤0，求函数f(x)=log2x8•log124x的值域.

分析：我们明显可以观察得到原条件是一个以log2x整体为自变量的一元二次不等式，令其为t，将条件化归为2t2-5t-3≤0,则-12≤t≤3.同理：我们可以将函数化归为一元二次函数，即f(x)=t2-5t+6，由二次函数图像易得其值域.实际上，这就是我们高中数学中常用的换元法.利用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，适当选取能够以简代繁、化难为易的变换，实现问题的转化.因此，要注意分析问题的结构特征，对已知条件适当变形，同时要善于发现题目中的特殊结构，（例如三角函数，指数函数等）挖掘题目中隐含的特殊关系，利用这些特殊条件进行代换.

2. 形与形之间的转化

例如：利用分割、补形、折叠、展开，作辅助线方法处理空间图形或平面图形，将立体问题化归为平面问题是解决立体几何的常用方法.

例2 如图，正三棱锥PABC中，各条棱的长都是2，E是侧棱PC的中点，有一只蚂蚁从A点出发，走过侧面PAB和侧面PBC到达E点，求蚂蚁走过的最短距离.

分析：我们知道，平面上两点间的距离最短.在求三棱锥中两点间的最短距离时利用展开图的方法，也是把立体几何问题化归为平面问题的重要依据，如图(展开)：

图1

图2

由平面中两点间的距离最短这一原理可知，最短距离为线段AE的长.在三角形PAE中，PA=2,PE=1,∠APE=2π3，由余弦定理得AE=7.由上例可知，展开图就是将空间图形剪开摊平成一个平面图形，能使一些在空间图形中不容易察觉的几何体元素的位置关系和数量关系在平面图形中显而易见.

3. 数与形之间的转化

数与形之间的转化主要是依据函数与其图象的关系；复数及其运算的几何意义，以及解析几何中曲线与方程的概念等等进行转化.

数与形之间的转化包括两点：

(1) “数”上构“形”.有些数学问题本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何意义，由这种几何意义可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化归为几何问题，再由图形来解决.例如函数与其图像的关系，以及解析几何中曲线与方程的概念，复数及其运算的集合意义等等进行转化.

例3 x,y满足方程x2+y2-4x+1=0，求yx的最大值和最小值.

分析：由x2+y2-4x+1=0联想到这是圆的方程，可以化解为标准方程(x-2)2+y2=3，由yx联想到圆上的点(x,y)与原点连线的斜率，即可将问题化归为数形结合的问题加以解决.

将圆的方程化解为(x-2)2+y2=3，表示了一个以(2,0)为圆心，半径长为3的圆；令yx=k,则y=kx表示一条斜率为k,且过坐标原点的直线.因为点(x,y)在圆上，所以k最值就是求过原点和圆上任意一点的直线斜率的最值.即直线与圆相切时直线的斜率.设切线方程为y=kx，其一般式方程为kx-y=0,则圆心到切线的距离d=｜kx-y｜k2+1=3,经计算可得k=±3.

(2) “形”中觅“数”.即问题中已知图形作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当的表达问题的数量关系式，就可以把几何问题代数化，以数助形，使问题获得解决.

例4 设动直线x=a与函数y=2sin2x+π4和y=3cos2x的图像分别交于M,N两点，则求线段MN的最大值.

分析：可利用二倍角公式化解为y=sin2x+1,设动直线x=a与两函数图像交点为(a,m),(a,n),则线段MN=｜m-n｜=｜sin2a+1-3cos2a｜,此时我们可以把函数图像化归为函数解析式，并求其在定义域内的最值.

四、 化归思想应用过程中的注意点：

转化与化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性.一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样.所以应用数学转化的方法去解决有关数学问题时，会有多种化归方法，没有一个统一的模板可以遵循.因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法.因此，应用化归思想时我们要注意以下几点：

1． 选择恰当的化归目标，保证化归的有效性、规范性.化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素.因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键.设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题为依据，而把要解决的问题化归为规律问题.化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性.如果选择一种化归方式后发现很难完成，我们不妨换一个角度去看问题（或换一个目标），我们在数学上讲究条条道路通罗马.

例5 a∈［1,3］，使得ax2+(a-2)x-2＞0是真命题，求解实数x的取值范围.

分析：我们首先把存在性命题转化为全称命题.即可以写出原命题的否定：a∈［1,3］使得

ax2+(a-2)x-2≤0恒成立，这是个是假命题.我们不妨先求解其为真命题时实数x的取值范围，再求解其补集.在解题过程中如果始终把原不等式看作是一个一元二次不等式，并把它化归为一元二次函数，那将会非常地繁琐，需要分成多种情况来讨论.我们不妨把原不等式看做是一元一次不等式，视a为主元，x为辅元，将其化归为关于a的一元一次不等式.记m(a)=ax2+(a-2)x-2.由于a∈［1,3］,使得m(a)≤0恒成立，则m(1)≤0且m(3)≤0，再求其补集.由上题可知，选择恰当的化归目标，往往会使解题达到事半功倍的效果.

2． 注意转化的等价性，保证逻辑上的正确.化归包括等价化归和不等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归（关于不等价化归本文不作讨论），等价化归即原命题与新命题必需满足充要条件关系，即两者可以互相推导.例如我们在解分式不等式时通常是化归为整式不等式，但一定要注意等价性.

3． 注意转化的多样性，我们在教学过程中经常一题多解.并比较这些解题方法，从而提炼出最优化的解题方法.在高考过程中，解题速度是考生能否在考试中取胜的关键，所以设计合理的转化方案尤其重要.可用多种方式化归统一目标，因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪.

最后，还必须说明，化归思想是中学数学解题的重要思想方法之一，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决的.化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的，因此，我们不能只停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.

主要参考文献：

［1］《用函数观点研究方程》辽宁大学出版社 黄辉 段训国 2000.7

［2］《立体几何中的几种解题意识》谢晓强 中国统计出版社2009.1

［3］《数学的创造》吴振奎 上海教育出版社2008.6