巧用辅助圆,活解直线题

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学生在解直线型问题时，有时会很难解决，甚至会束手无策或感到无从下手，这时如果添上必要的辅助线，有时问题便会迎刃而解，因此辅助线在解决几何命题中会起到非常有效的作用，而合理而巧妙地构造辅助圆则可以将某些直线类问题转化为圆的问题，从而开拓解题思路，使得这些问题的解决更灵活简单，下面就介绍几种添加辅助圆的方法：

一、遇与某点等距定外接圆

若在命题的条件中有几点与某点等距，可以利用圆的定义作其外接圆。

例1 已知：四边形ABCD中，AB=AC=AD=a,CD=b，

AD//BC。求： 四边形对角线BD的长。

略解：以A为圆心，a为半径画A，延长DA

交 A于E点，连结BE。

AB=AC=AD=a ，B,C,D三点

都在A上，

DE//AC,CD=BE,

CD=BE=b,DE=2AD=2a,

DE为A直径，∠DBE=90°,

BD==。

二、遇有等角作外接圆

若三角形中有等角，用直线型定理又难以解决时，可考虑给三角形作外接圆。

例2 已知：在ABC中，E,F分别是AB,AC上的点，且∠FBC=∠ECB=∠A。

求证：BE=CF。

略解：作ABC的外接圆，延长

CE、BF分别交圆于G、H,连结BG、CH,

∠FBC=∠ECB=∠A,

∠1= ∠2=∠FBC+∠ECB =∠A,

易得∠G=∠1=∠2=∠H,BG=HC=CD，

又∠３＝∠４，

BGE≌CDF ,

BE=CF。

三、遇有倍角可构造外接圆

有些关于三角形问题中含有条件是倍角关系，这些问题若借助于三角形外接圆，用圆的性质来解决，思路简洁，解法新颖，易于掌握。

例3 已知：ABC中，∠ACB=2

∠ABC，求证：AB＜２AC。

略解：如图，作ABC的外接圆，

作∠C的角平分线交圆于D，

连结AD,BD,CD, 则BD=AD=AC,

AB

四、遇有直角或角互余，用外接圆

例4 已知在ABC中，AD是BC边上中线，且∠B与∠CAD互余，问ABC是怎样的三角形？

略解：作ABC的外接圆，圆心为O,延长AD交O于E,连结CE,则∠AEC=∠B,

又∠B+∠CAD=90°，∠ACE=90°, AE是O的直径。

（1）如图1，如果O与D不重合，则OB=OC,ODBC, 即ADBC,

ABC为等腰三角形。

（2）如图2，如果O与D重合，则BC也是直径，

ABC是直角三角形。

五、遇外心套外接圆

条件中遇到三角形外心，但没有给出外心的具置，可利用条件作这个外接圆。

例5 证明三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到这个顶点对边距离的两倍。

略解：如图，根据命题的条件作出ABC,而AD，BE,CG分别是ABC边BC,AC,AB上的高，O为ABC的外心，H为ABC的垂心，连结CO,并延长交外接圆于F, 连结BF,AF,作OMBC，垂足为M,则可得OM为FCB的中位线，

BF=2OM,

在四边形AFBH中，BHAC,FAAC,

FA//BH,

四边形AFBH为平行四边形，

FB=AH,

AH=2OM。

六、遇垂心想共圆

利用垂心（三角形中三条高线之交点）这个条件，

注意四点共圆的灵活运用。

例6 已知，如图在ABC中，H为垂心，∠B=60°，连结两垂足D,E。

求证：DE=AC。

略解：取AC的中点K,连结DK,KE,CDAB,AEBC

DK=AC=EK ,

A,D,E,C 四点共圆，且K为圆心。

∠DKE=2∠DCE=60°,

DKE为等边三角形

DE=DK=AC。

七、正多边形问题多往其外接圆靠

正多边形都有一个外接圆，因而可以利用圆的特有性质，将多边形问题化难为易。

例8 已知：正多边形ABCDE的两条对角线AC和BE相交于P。

求证：BC=PC。

略证：作出正多边形ABCDE的外接圆，

于是∠1 (CD+DE),

∠2=∠3+∠4 BC+AE=(BE+AE),

CD=DE=BC=DE,

CD=DE=BC=AE,

∠1=∠2,BC=PC。

添加辅助圆的方法不仅仅是上述这些，但作辅助圆的目的都是通过添圆实现从未知到已知的转化，只要掌握其基本规律或方法，在“山重水复疑无路”时，就会出现“柳暗花明又一村”的境界。

（作者单位：浙江省宁波市东恩中学）