错误成就数学之美

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在课堂中，我们常常发现，当学生犯错的时候往往会害羞，不敢再说。有学生甚至偷偷地和我说：“老师，您少叫我回答问题，我害怕说错。”往往这时候我都会和他们说：“你们知道吗？错误的邻居就是真理，错误有什么可怕？学校就是允许你在知识上犯错再改正的地方。”这样，学生就会释然很多。有时候，我们会发现，学生犯的一个错误往往会让教师更透彻地分析学生思考问题的方式、方法，从而寻求更好的教学方式帮助他们发现和改正错误，更好地掌握知识。

我执教的苏教版四年级下册的《三位数除以两位数》时，在课前，我提出了三个难点，一是如何进行试商；二是如何证明用四舍五入试商法计算除数是两位数的可行性；三是如何克服学生在计算中当试出商却把商和试商时的除数相乘的错误。我把思考更多地放在了前两个问题上，我认为最后一个应该不成问题，然而，在课堂教学中却成了最大的问题。下面，我就以两次执教的片段谈谈我的思考。

一、课堂实录片段1

例题：192÷32，学生已经提出将32想成30来试商，并说明为什么把32当30来试商。

师：既然把32看做30来试商，这就回到我们之前学习的除数是整十数的除法，那你能想一想，这里商几？为什么？

生：商6，我想的是192里面最多有6个30。

学生一致认可。

师：说得真好。那这个6是不是就是192÷32的商，我们还不能确定，我们继续来算一算，第二步算什么？

生1：算30×6。（板书30×6）

生2：不是，应该是32×6。（板书32×6）

师：到底是30×6还是32×6，为什么？

生2：应该是32×6，因为32才是真正的除数。

生1：应该是30×6，因为这个6是用30试出来的，所以要乘也要和30相乘。

生3：我认为他说的不对，虽然我们是用30来试商的，但是192除以的是32，我们知道做除法的时候都是用商去乘除数，这里的除数是32，所以要乘32。

师：同学们说得都非常有道理，那么你们认为谁说的更有理一些呢？（一些学生指着生2和生3）

师：确实如此，这里的30并不是真正的除数，我们只是用它来试商。要验证商是不是就是原来除法的商，我们可以来验算一下。

算出结果，32×6正好等于被除数192，通过乘法验算得到商就是6。

练习反馈：我自认为每个细节上都讲清楚了。然而，在随后的计算练习中发现，仍有大量学生将商与试商的除数相乘。我当时还想：学生肯定是会的，只不过因为试商的除数写在了除数上面，学生看错了才出错的。

课后反思：虽然课堂上纠正了学生的错误，然而课后仍旧继续犯，这引起了我的思考，为什么会把商和原来的除数相乘，我课上那样讲学生是否都理解了？我顺着学生的思路去想，这节课前学生的基础是用除数是整十数的方法来试商，第一步和以前一样，想被除数里面最多有几个整十数，第二步用商去乘整十数。想到这里，我突然发现，既然这节课是用学过的知识来解决新的问题，学生习惯了这种思维方式，计算时就是用商乘整十数，今天整十数又出现，当然还是会去乘整十数。我一下子豁然开朗，原来是思维定式让他们一而再地犯错，既然这样的话，原来的方法根本行不通，学生认为自己的想法是正确的时候往往就会一意孤行，任凭怎么比较，学生可能都无法认识到自己的错误。问题的原因找到了，那如何纠正呢？必须让学生自己认识并改正，我看着教学设计并回想上课时的每一个细节，一下子发现有好多切入点都可以让学生发现问题，从而避免犯类似的错误。带着这样的思考，我进行了第二次执教。

二、课堂实录片段2

同样讲到把32当做30来试商，并试出商是6。

师：那这个6是不是就是192÷32的商，我们还不能确定，我们一起继续算下去，第二步算什么？

生1：用30×6=180。（这时候下面有同学议论，并想举手反对）

师：好，30×6=180，（并把180写在竖式中被除数192的下面）

生1：192-180=12。（教师随即板书）

师：说得很好，余数没有超过除数，看来结果就是6余12。算得对不对呢？我们一起来验算一下。

生2：用商乘除数加余数，所以用30×6=180，再加上12等于192。

师：正好等于被除数，对了。（这时候我发现生1举手了）

生1：错了，验算要用32乘6再加12，因为列出的算式中除数是32不是30。（顺着他的说法我指了指原来的横式，许多学生非常响应他的想法）

师：说得有道理，我的除数明明是32嘛，那我们重新来验算。

生1：32×6=192,192+12，啊呀，错了。

师：怎么了？还没说完就错了？

生1：32×6已经等于192了，再加上12就是204超过被除数192了。

师表扬他：你很厉害，居然能发现自己的错误，同学们你们看到了吗？

学生集体点头赞成。

师：那现在还是委托你找一找，你在哪犯错了？其他同学也一起帮他找找他哪里错了？

许多学生都举起了手。

生1（想了一会）：我知道了。我刚才在做除法的第二步时算了30×6，而应该算32×6，（他不好意思地笑了笑）跟那个验算犯了同样的错误，应该乘原来的除数。

师：你很不错，刚才发现了别人的错误，现在又带着相同的眼光发现了自己的问题，了不起。同学们，你们发现了吗？

生2：恩，因为30是我们用来试商的，不是真正的除数。

师：是啊，原来它是假冒货啊！（学生笑了）我们什么时候用到它的啊？

生集体：试商的时候。

师：对啊，我们只是借它来帮助我们试出商的。商出来了和我们还有关系吗？

生集体：没有。

师：没有的话我们就要赶走它，别让它挡着我们了。（我在30上面用红笔加了一个括号，又用黄笔把32重重描了一遍）

练习反馈：练习的时候，我特别在教室转了一圈，发现只有3个同学乘了试商的除数，其余学生都乘对了。我对三位同学进行了个别辅导，同时发现学生都在试商的整十数上加上了括号。

课后反思：再次回看这节课，我突然发现一下子丰满了许多，课堂不再那么生硬地将知识灌输给学生，同时学生能够经历一个自我认识错误、反思错误进而纠正错误的过程，这远比让别人指出错误，又要强迫他接受的方法好得多。

从这节课两次执教让我深刻地发现，学生会犯错误是正常的，他们会这样做，是因为他们所掌握的知识有限，这时候就需要教师从旁帮助他们，指导他们利用学过的知识进行自我反思，自己来改正错误。老师的工作就是帮助学生改正错误，帮助他们朝着真理的方向前进！数学是很美的，只是我们有时候过多地关注于学生的错误而严于批评，其实数学的美正来自于这些错误！就让这些错误让我们的课堂更加人本化吧！

（作者单位 江苏省常州市博爱小学）