利用“列表法”建模解分式方程应用题
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数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法.数学建模旨在拓展学生的思维空间，让学生积极主动地去关心社会，让数学贴近现实生活，从而使学生在进行数学知识和实际生活双向建构的过程中，体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣，体验到充满生命活力的学习过程.这对于培养学生的应用意识和创新精神是一个很好的途径.但是数学应用题涉及的知识点多，解决它无一般公式可循，特别是当应用题的题干繁杂冗长，数量关系复杂时，很多学生不能理清题目中的数量关系，从而无法正确地列出方程.故此，应用题教学的关键就是教会学生学会审题，理清数量关系，正确建立数学模型.本人在教学中发现“列表法”建模是一种不错的分析应用题数量关系的方法，列表法简单明了，可以清楚地理清题目中的各种数量关系.下面就以中考题为例来谈谈“列表法”建模在解分式方程中的应用.
注：在实际问题中往往出现两个或两个以上的等量关系式，其中被选作列方程的等量关系式叫做基本等量关系式，其余的称之为辅助等量关系式.
例1(2011吉林长春)小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟，求小玲步行的平均速度.
解析本例是有关行程的问题，此类问题中有三个基本量：路程、速度和时间，它们之间的基本关系是：路程=速度×时间，在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种交通方式，数量关系较为复杂，可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
速度关系：骑车速度是步行速度的4倍①，
时间关系：骑车时间比步行时间少30分钟②.
方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.
设骑车时间为x分钟，则由关系②得步行时间为(30+x)分钟,
骑自行车步行等量关系路程28002800相等时间x30+x速度2800x280030+x①由①得
2800x=280030+x×4，
解之得x=10.
所以小玲步行的速度为
280010=280 米/分钟.
方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.
设步行的速度为x米/分钟，则由关系①得骑车速度为4x米/分钟.
骑自行车步行等量关系路程28002800相等速度4xx时间28004x2800x②由②得
2800x-28004x=30，
解之得x=280.
答：小玲步行的速度为280米/分钟
点评本题的目的是让学生学会用“列表法”整理应用问题的数据，分析应用题的数量关系,完成应用题建模的关键环节.本例的二种解法实质上也是我们通常所讲的未知数的两种设法：直接设未知数、间接设未知数.当然就这个题目而言直接设未知数简单.
例2(2011广西崇左)今年入春以来，湖南省大部分地区发生了罕见的旱灾，连续几个月无有效降水.为抗旱救灾，驻湘某部计划为驻地村民新建水渠3600米，为使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？
解析本例是有关实际的工程类问题，此类问题中有三个基本量：工程总量、单位效率和工作时间，它们之间的基本关系同样是：工程总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种情况：一种是原计划，一种是实际；同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
工作效率：实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍①，
工作时间：原计划时间比实际时间多20天②.
方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.
设原计划需要时间为x天，则由关系②得实际所用时间为(x-20)天.
原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作时间xx-20工作效率3600x3600x-20①由①得
3600x-20=3600x×1.8，
解之得x=45，
所以原计划每天修360045=80米.
方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.
设原计划每天修x米，则由关系①得实际每天修1.8x米.
原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作效率x1.8x工作时间3600x36001.8x②由②得
3600x-35001.8x=20，
解之得x=80.
答：原计划每天修80米.
点评本题同样可以根据不同的等量关系设未知数求解，关键是设的时候用辅助等量关系，再利用基本等量关系来列方程求解，而且通常情况下根据问题直接设未知数比较简单.
例3(2011年河北)甲乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工；若甲乙共同整理20分钟后，乙需单独整理20分钟才能完工.问乙单独整理多少分钟能完工？
解析本例是有关虚拟的工程类问题，总的工作量为单位1.此类问题中有三个基本量：工作总量、工作效率和工作时间，它们之间的基本关系是：工作总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两个人，同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
工作总量的关系：甲的工作总量+乙的工作总量=1.
以工作总量为基本关系式，设乙单独整理完成需要x分钟.
甲乙等量关系工作效率1401x工作时间2020+20工作总量140×201x×(20+20)甲+乙=1①由题意可得
2040+20+20x=1，
解之得x=80.
答：乙单独完成需80天.
例4(2011年贵州安顺)某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%.小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，求去年居民用水价格.