递推数列的解析方法
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摘要:数列作为代数的重要组成部分,内容多且考点也多。尤其是数列的递推公式,让我们看到了项与项之间的连接关系,也让我们尝试各种各样的数列形式.
中图分类号:G652 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0072-01
数列作为代数的重要组成部分,内容多且考点也多。尤其是数列的递推公式,让我们看到了项与项之间的连接关系,也让我们尝试各种各样的数列形式,品种繁多但解法大同小异,所以总结递推数列的形式,对了解数列、深化数列以及探究规律起到了举足轻重的作用。下面就几种常见的递推数列求数列的通项进行阐述。
一、等差(比)数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差(或比)是一个常数,则称这个数列是等差(或等比)数列。
例1、 如果数列{an}满足2an+1-2an=1,且a1=1,求数列{an}的通项公式。
解析:由题可得,数列{an}是等差数列,d= ,则an=a1+(n-1)d=
方法技巧:分析题中数列的特点,是否是等差(或等比)数列,运用等差(或等比)的有关公式处理问题。
二、“类等差(比)数列”
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差(或比)虽不是一个常数,但是结果与n的线性式有关,则我们把这样的数列称为“类等差(或等比)数列”。
例2、 已知数列{an}满足an+1=an+n,,且a1=0,求数列{an}的通项公式。
解析:由题可得,该数列是累等差数列,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+A+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+A+1=
方法技巧:如果数列是类等差(或等比)数列,则可以使用叠加(或叠乘)的方法求出数列的通项公式,这样既让我们感受到了等差(或等比)的味道,又体现了变形的思想。
三、构造数列是等差(比)数列
例3、 已知数列{an}满足an+1=2an+1,且a1=1,求数列{an}的通项公式。
解析:由题的结构特征发现只要在等式两边加上1,则可以转化为(an+1+1)=2(an+1),由此可设an+1=bn,则数列{bn}是等比数列,首项为b1=2,,公比q=2,即bn=2n
故an=bn-1=2n-1
例4、 已知数列{an}满足an+1=10an2,且a1=1,求数列{an}的通项公式。
解析:从数列的递推结构看,左右次方不一,所以利用两边去对数把次方进行降次。以达到等差(或等比)的形式。方程两边同时取常用对数,则lgan+1=1+2lgan,再左右各加1,得到1+lgan+1=2(1+lgan),即数列{1+lgan+1}是首项为1,公比为2的等比数列
故1+lgan=2n-1,即an=102n-1-1
方法技巧:如果数列{an}满足递推公式an+1=pan+q,p,q为不等于零的常数,且p不等于,则可以通过待定系数法设(an+1+r)=p(an+r),且r= ,从而知道数列{an+r}是一个等比数列,运用公式先求新数列{an+r}的通项公式,然后再求数列{an}的通项公式。真是以新促老,万事皆成功啊!
四、构造数列是“类等差(比)数列”
例5、 已知数列{an+r}满足an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3求数列{an}的通项公式。
解析:从递推结构式中可以整理得到:an+2-an+1=2(an+1-an),即数列{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以,an+1-an=2n
又an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+A+(a2-a10+a1
=2n-1+2n-2+A+21+1=2n-1
方法技巧:类似的如an+1=pan=qan-1型的数列,可以通过待定系数法an+1+ran=s(an+ran-1),且满足s-r=p,sr=q。从题目的结构特征可以转化为“类等差(或等比)型数列”,从而利用叠加和叠乘研究有关问题。
数列作为代数的重要组成部分,有着举足轻重的作用。尤其是几种特殊数列的研究,对研究数列的特性以及由此得到的其他问题都有帮助,只有掌握通项公式的求解,才能解决数列中的和或者其他问题。递推数列是其中的一种,只有了解它的常规形式,才能对问题进行深化及转化,所以递推数列是根本,我们必须掌握好它。
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