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一、 高考风向标
对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想;以上也是函数部分的重点。难点主要包括:①含参变量的分段函数问题;②与数列、不等式等知识交汇的问题;③恰当构建函数模型问题;④分类讨论思想的应用。
本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。
二、 典例评析
(一) 考查函数定义域、值域
【例1】 若集合已知A={x|2≤22-x≤8,x∈Z},B={y|y=|log2x|+1,x∈R},则集合A∩(
RB)=.
解析 由题意得:1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A={-1,0,1},集合B是函数的值域,故B=[1,+∞),
RB=(-∞,1),于是A∩(
RB)={-1,0}.
点评 集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件;集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想:A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。
(二) 考查函数单调性、奇偶性
【例2】 已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为.
解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得:m
点评 指数函数f(x)=ax的底数分为01两类,估算出底数a=5-12属于哪一类,利用指数函数的单调性,是解决本题的关键。
【例3】 函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性)
解析 由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
点评 遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。
(三) 考查函数运算性质及应用
【例4】 设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=.
解析 f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,a2 011=2 010.
点评 观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。
想一想:若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好?答案:2 011.
(四) 考查分段函数图象的应用
【例5】 函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1],
log9x,x∈(1,+∞).
使f(x)=12的x的集合为.
解析 在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1;由log9x=12,得x=3;故满足条件的x构成的集合为1,3.
点评 分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题;结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。
(五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用
【例6】 函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为 .
解析 函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,定点A(-1,-1);点A在直线mx+ny+2=0上,m+n=2,又mn>0,m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2.
点评 学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”;得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。
迟序之数,非出神怪,有形可检,有数可推。――祖冲之
(六) 建立函数模型问题(二次函数型)
【例7】 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,
设CP=x,CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为.
解 设∠DCP=θ,CP=x,AC=2,,PB=PD=6-x,在CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x,
sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2,
S2CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2CPD取得最大值8,f(x)=SCPD的最大值为22.
点评 表示三角形的面积,有两种选择:①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。
(七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想
【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值.
解 (1) 图象C经过点A(1,0),a+b+c=0…①;又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1,
b=-8,
c=7.f(x)=x2-8x+7;
(2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m),
①当m-1
②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件;
③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0,
Δ≤0即m-1>0,
3m2-19m+28≤0,
解得73≤m≤4,m为正整数,m=3或4.
点评 函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0
Δ≤0的格式可有效避免这类错误。
实战演练
1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=.
2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个.
3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有.
4. 已知集合A=x13
5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=.
6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为.
7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0
f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)= .
8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0),
0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个.
无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。――希尔伯特
【参考答案】
1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,12α=22,
得α=12,于是k+α=32.
2. 显然,x=0时,y=0;x=±2时,y=8,x=±3时,y=18;由映射、函数定义,定义域分别为{0,2,3},{0,-2,3},{0,2,-3},{0,-2,-3},{0,2,-2,3},{0,2,-2,-3},{0,2,3,-3},{0,-2,3,-3},{0,2,-2,3,-3}均满足,故这样的“孪生函数”共有9个.
3. 1或3
4. 由13
5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,h(0)>g(0),h(1)
6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x;当24时,f(x)=10-x;故f(x)在x=4时取得最大值6.
7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现:当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12.
8. 易知函数f(x)为偶函数,故函数图象关于y轴对称(如图),由f2(x)-f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=1,直线y=1与f(x)的图象有四个不同的交点,直线y=0与f(x)的图象有三个不同的交点,方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有7个.