混沌理论及其在工程中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇混沌理论及其在工程中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：混沌理论是与量子力学、相对论齐名的一个重大科学理论，是20世纪的三大科学革命之一，自提出以来产生了巨大影响，同时也被广泛应用于各个领域，成为探索非线性复杂问题的有效工具。文章旨在用尽量浅显的语言概述有关混沌理论的主要内容，使那些没有接触过混沌的人尽快地了解、认知它，同时作者还想通过此种形式与广大非线性动力系统的研究者们相互交流，以期对混沌学的更深入的探索。

关键词：混沌理论；拓扑传递特性；混沌控制

中图分类号：TP271文献标识码：A文章编号：1009-2374（2009）06-0129-02

一、混沌概述

（一）混沌的定义

从数学上来讲，“混沌”这一词没有一个统一的严格定义，比较常用的有Li-Yorke、Devaney、Marotto意义下的三种定义。下面给出Devaney基于拓扑学的混沌定义：

定义：设V是一个度量空间，映射如果满足下列三个条件，便称f在V是混沌的。

（1）对初值敏感依赖；

（2）拓扑传递性：对V上的任一对开集X，Y，存在K>0，使；

（3）f的周期点集在V中稠密。

在定义中，对初值敏感依赖用数学语言描述是：存在δ>0，对任意的ε>0和任意的x∈V ，在x的ε邻域内存在 y和自然数n，使得 。用中国成语描述就是：“失之毫厘，差以千里”。这种敏感性并不局限于系统状态的初始值，同时适用于系统参数，著名的Logistic混沌系统就具有这种对初始条件、系统参数的极度敏感性。1979年美国气象学家洛仑兹（Edward Lorenz）在一次演讲中提到，巴西的一只小蝴蝶煽动一下翅膀，有可能在得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是所谓的“蝴蝶效应”，“蝴蝶效应”使得系统具有长期不可预测性。这种初始条件敏感性不仅存在于自然界，同样也存在于人类社会中。1997年东南亚金融风暴的始作俑者乔治・索罗斯就被人称为“犹太蝴蝶”，因为据说是他在当年3月份大量抛售泰国铢，导致泰国铢汇率狂泻，并逐渐演变为席卷东南亚的金融“龙卷风”。

图1为受迫Duffing方程，，当两个初始条件相差很小时（如x（0）＝2.01与x（0）＝2.02），解x（t）随时间的变化和解在相平面（ ）上的相轨迹。

所谓拓扑传递特性，是指对于任意两个区域，在其中一个区域内至少存在一个点，系统从该点出发，经过一定时间后能转移到另外一个区域。更直接的说，具有拓扑传递特性的系统有这样的一些特点，系统从它的任意小邻域内出发，最终可以到达其它任何领域，这实际上意味着系统具有遍历性。同时，这类系统也不能被细分或不能被分解为两个互不影响的子系统。

周期轨道的稠密性是指在系统吸引子中稠密地嵌入着周期轨道，从数学上讲，对于V中的任意一点，要么它是周期轨道，要么在它的任意邻域内，总存在无穷个周期轨道，且这些周期轨道都是系统的解。从整体来看，混沌系统中看不到单个轨道，而是一簇轨道的保络，其中稠密地嵌入了无穷的周期轨道。

（二） 通向混沌运动的途径

通向混沌的道路主要有三条：倍周期分叉道路，阵发性道路和茹厄勒（Ruelle）-塔根司（Takens）道路。

1．倍周期分叉道路。系统运动变化的周期是一种有序状态，在一定的条件下，改变参数能使系统轨道一分为二，即周期加倍，参数继续改变，轨道的辟裂就继续发生，由二到四到八成倍周期增长，最终丧失周期而进入混沌。例如虫口模型 ， 在大于3以后，即为倍周期分叉通向混沌。美国物理学家费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）的发现，是倍周期分叉中最为杰出的研究。为探索混沌的内在规律找到了一条道路。

2．阵发性道路。阵发性表示时间域中系统不规则行为和规则行为的随机交替现象。在非平衡系统中，某些参数的变化达到某一临界值时，系统会出现表现在时间行为上的时而周期，时而混乱，在两者之间随机震荡的状况，最终进入混沌。阵发性混沌最早见之于Lorenz模型，它与倍周期分叉所产生的混沌是孪生姐妹，凡是能观察到倍周期分叉的系统，原则上都可发现阵发性混沌现象。

3．茹厄勒-塔根司道路。当流体系统发生湍流（混沌）时，其显著特点是系统同时存在着多种频率的振荡。因此由于某些参数的变化使得系统内有不同频率的振荡相互耦合时，系统就会产生一系列新的耦合频率的运动而导致混沌。茹厄勒和塔根司两人在1971年以及纽豪（Newhause）在1978年分别用实验证明了实际上在三次分叉后，规则运动就变得高度不稳定而进入混沌，即不动点极限环二位环面混沌。

（三）混沌判别方法

系统是否存在混沌？系统是否处于混沌状态？这是研究混沌首先遇到的问题。下面主要谈三种常用的方法：

1．替代数据法。替代数据法是由 Theiler 等人提出来的。该方法的实现步骤为：首先作零假设（假设所讨论的时间序列为线性随机序列），按照一定的算法由待检验序列出发产生出一组既满足假设条件又保留了原序列的傅里叶（Fourier）功率谱值的替代数据，分别计算待检验数据及替代数据的李雅普洛夫（Lyapunov）指数或关联指数等指标，再根据原序列和替代数据指标的显著性差异水平，在一定的置信度内决定接受零假设还是拒绝零假设。

2．G-P算法。G-P算法是由Grassberger&Procaccia提出的。计算序列的关联维数 ，并根据关联维数的值来判定序列的特性。这种方法的判断准则是：当D2=1时，系统处于自持周期振荡状态；D2=2时，系统具有两种不可约频率的准周期振荡；当D2不是整数或大于2时，系统表现出对初始条件敏感的混沌振荡。

3．Lyapunov指数法。Lyapunov 指数用于量度在相空间中初始条件不同的两条相邻轨迹随时间按指数律吸引或分离的程度，这种轨迹收敛或发散的比率称 Lyapunov 指数。

Lyapunov 指数λ实际上就是系统在各次迭代点处导数绝对值的对数平均，它从统计特性上反映了非线性系统的动力学特性。在混沌的诊断中，λ起着非常重要的作用：若λ0（且有限），系统即不会稳定在不动点，也不存在稳定的周期解，同时也不会发散，表明系统进入混沌；分叉点对应于稳定轨迹的边缘，故λ=0。

此外，判别混沌的方法还有Poincare截面法、功率谱法、分维法和拓扑熵法等，但其核心仍是计算 Lyapunov 指数。

二、混沌的应用方向

混沌现象在现实世界里随处可见，但直到上世纪混沌现象才被人们发现。尽管混沌理论发展到现在还不是很完善，但是最近几年混沌应用发展很快，几乎各行各业中都有人在研究混沌的应用。

（一）混沌控制

混沌控制的基本思想就是人为地利用初始条件的微小变化来保持系统稳定或直接利用这一点来控制系统的状态。在以下领域混沌都能起到有效的控制作用，如飞机机翼的振动控制、电力传送系统、涡轮机、化学反应、医学上的心脏起博器、传送带、经济规划、电脑网络、航空航天等。美国航空航天局在1978年发射了一艘飞船，1983年，为了重新设置一颗绕太阳旋转的彗星的运行轨道，NASA的工程师们运用卫星本身的推进系统、月球对卫星轨道的影响以及太阳本身的扰动，成功地对该卫星进行了重新定位。当时还没有提出“混沌控制”这个专业术语，但这次事件确实用到混沌控制的基本思想。实际上卫星、月球和太阳组成了一个开始提到的三体问题，即混沌系统，天才的工程师们就是利用了混沌系统对初始条件的敏感性――通过残存的很少一部分飞船燃料，使飞船自身状态得到微小变化以达到控制飞船的目的，这在非混沌系统中是不可能的。

（二）混沌同步

混沌同步是指由一个自治的系统出发，构造新的混沌系统，使它们具有共同的同步混沌轨道。1989年Tom Carroll创造了第一个同步混沌电子电路。在工程上设计理想的同步混沌系统还处于起步阶段，但有很好的应用前景。通过比较两个同样的混沌信号（即混沌同步）可以用于信息加密，也可以通过除去混沌信号而获知信息的内容，人为产生的服从某些规律的信号还能够用于信息的传输。

（三）混沌的短期预测

严格来说我们的世界是一个非线性的世界，混沌现象随处可见，尽管目前已经对混沌应用作了大量研究，但混沌至今还没有统一的数学定义，混沌应用更是个全新的学科领域，因此混沌理论及其应用都还有待于进一步探索，也预示着混沌应用具有巨大潜力。随着人们对混沌认识的不断深入，将能更好地控制和利用混沌为人类服务，甚至一些用已有的科学知识无法解决的疑难问题都将迎刃而解。

参考文献

[1]代榕．混沌保密通信系统的设计与研究 [D]．广西师范大学，2008．

[2]杨朝羽．时空混沌的控制研究[D]．广西师范大学，2008．

[3]王磊．混沌系统的控制与同步研究[D]．西华大学，2007．

作者简介：费燕（1971－），女，山东烟台人，供职于青岛农业大学机电工程学院研究方向：机械制造及应用。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文