库仑定律的综合应用

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库仑力产生的效果服从牛顿力学中的所有规律，所以在计算库仑力时根据库仑定律，而在分析效果时，应根据力学的解题思路去分析与解答．在解题过程中，库仑力的正

、负号不表示引力或斥力，而是与规定的正方向相比较，与规定的正方向相同则为正，反之为负．

一、与电荷守恒定律结合应用

库仑定律遵守二次方反比规律，其表达式只有在真空中、点电荷的情况下才能满足.对于与外界无电荷交换的孤立系统，电荷只是在系统内的物体间发生转移，且遵循电荷守恒定律.由于两定律中均涉及电荷的带电量，故带电体的电荷量便成了两定律联系的“纽带”，因而正确分析、确定带电体在不同状态下的带电量，便成了处理两定律综合应用的关键.

例1 有三个完全相同的金属球A、B、C，A带电量为7Q，B带电量为-Q，C不带电.将A、B固定，然后让C反复与A、B接触，最后移走C球.试问A、B间的相互作用力变为原来的多少倍？

解析：C球反复与A、B球接触，最后三个球带相同的电荷量，其带电量为：

Q=7Q+(-Q)3

=2Q

A、B间原来的相互作用力大小为

：

F=k7Q•Qr2

A、B间最后的相互作用力大小为

：

F′=k

2Q•2Q

r2

即F′=

47

F.故A、B间的相互作用力变为原来的

47.

点评：解答本题应注意：当两个完全相同的带电体相接触，如果两带电体带同种电荷，则电荷的总量平分；如果带异种电荷，则电荷先中和再均分.

两个异种点电荷接触后再放回原处，它们之间的相互作用力与原来相比可能变大，也可能变小，也可能不变；两个同种点电荷触后再放回原处，它们之间的相互作用力与原来相比可能变大，也可能不变，不会变小.

例2 真空中有两个分别带有正电荷和负电荷的金属小球 (小球直径可忽略不计)，当它们之间的距离R时，相互作用的静电力为F．现让它们相互接触一下，然后再放回原处，仍保持间距R，则它们之间的相互作用力（ ）

(A) 一定为F (B) 可能小于F

(C) 一定为零 (D) 可能大于F

解析：根据库仑定律，真空中两个点电荷之间的作用力与电量的乘积成正比；根据电荷守恒定律，两个相同带异种电荷的金属小球接触后，它们所带的电量应首先中和再均分．设原来带电量为q1、q2，则接触后的电量都是

q1-q22，由数学知识可知q1、q2的乘积与

(

q1-q22)2

的大小不确定，所以正确答案为(B)、(D).

二、在平衡状态下的应用

例3 如图1所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定点A，在Q的正上方的P处用绝缘细线悬挂另一质点B，A、B两质点因带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角.由于漏电，A、B两质点的带电量减少，在电荷漏完之前悬线对悬点P的拉力（ ）

(A) 变小 (B) 变大

(C) 不变 (D) 先变小后变大

图1 图2

解析：由题意可知A、B必带同种电荷，在整个过程中B质点可看成一直处于平衡状态.根据平衡条件，B质点所受的重力G、库仑力F、细线拉力

T三个力的矢量构成一封闭的三角形，如图2所示.由几何关系可得

BCD∽QPB，则可得

TPB

=GPQ

，即T=

PBPQG，而PB、PQ、G为定值，即细线对P的拉力不变，故选(C) 项.

点评：本题利用共点力平衡中的相似三角形法使问题得以顺利求解，利用该方法的关键是找出相似三角形.

例4 真空中两个点电荷，电荷量分别为q1 = 8×10-9 C和q2 = -18×10-9 C，两者固定于相距20 cm的a、b两点上，有一个点电荷放在a、b连线上 (或延长线) 的某点，恰好能静止不动，则这点的位置是（ ）

(A) a点左侧40 cm处

(B) a点右侧 8 cm处

(C) b点右侧20 cm处

(D) 以上都不对

解析：a所带的电荷量比b少，由分析可得引入的点电荷只有放在a的外侧才可能处于平衡状态．设它在a的外侧与a的距离为r处处于平衡状态．由平衡条件和库仑定律可得：

kqq1r2

=kqq2(r+r0)2

解得：r= 40 cm．

正解答案为 (A) .

例5 在真空中有A、B、C三个点电荷，依次放在同一直线上，都处于平衡状态，若三个点电荷的电荷量、电荷的正负及相互距离都未知，根据平衡能判断出这三个点电荷的情况是（ ）

(A) 分别带何种电荷

(B) 哪几个同号，哪几个异号

(C) 哪一个电荷量最小

(D) 电荷量大小的排序

解析：（1）三个点电荷都为同种电荷时，根据力的平衡条件可知它们不可能同时处于平衡状态．

（2）根据力的平衡条件可得要使三个点电荷都处于平衡状态.必须保证三个点电荷在同一直线上，设q1、q2和q3依次分布在同一直线上 (q2在中间) 且都处于平衡状态，当q2为正电荷时，q1和q3必须都为负电荷；当q2为负电荷时，q1和q3必须都为正电荷．即分布在两边的必为同种电荷，中间的为异种电荷．

图3

（3）设三电荷处于平衡状态位置如图3所示．以q1为研究对象，由库仑定律得：

F31

=kq3q1

(r1+r2)2,

F21

=kq2q1

r21

根据力的平衡条件可得q3 > q2；同理以q3为研究对象，可得q1 > q2，所以处在中间位置的点电荷的电量是最小的．

再以q2为研究对象，由库仑定律可得：

F12=kq1q2r21,F32

=kq3q2r22

所以当r1 > r2时，有q1 > q3，表明处在中间的q2靠近另两个电量较小的点电荷．

因三个点电荷都处于平衡状态，所以有：

kq3q2

r22

=kq1q2

r21

=k

q3q1(r1+r2)2

=F

解得：

r1=

kq1q2F,r2=

kq2q3

F

r1+r2=

kq1q3F

由此可得：

q1q3

=q1q2

+

q2q3

另外还可以得到：q1∶

q2∶q3=

=r21(r1+r2)2∶

r21r22∶r22(r1+r2)2

r1∶

r2=

q1q2

∶

q2q3.

所以，三个点电荷同时处于平衡状态时，三点一定在同一直线上，位于两端的电荷是同种电荷，位于中间位置的电荷电量最小，而且靠近另两个电量较小的点电荷，若按q1、q2和q3的顺序排布则有：

q1q3

=q1q2

+q2q3

,r1∶r2=

q1q2

∶

q2q3.

由以上分析可得三个点电荷按A、B、C的顺序排在同一直线上处于平衡状态时，从位置上看两端的A、C应是同种电荷，为同号．从电量上看处在A、C之间的B的电量是最小的．因相互距离不定，所以电量大小排序不能确定，但两边一定大于中间，正确答案为 (B) 、(C) ．

三、在匀加速直线运动中的应用

图4

例6 如图4所示，质量均为m的三个带电小球放置在光滑绝缘的水平面上，A、B相距L，B、C亦相距L (L比球的半径r大得多)，它们所带的电荷量均不变．A带正电，QA = 6q；B带负电，QB = -3q．若在小球C上加一个水平向右的拉力F，F的大小恒定，欲使相邻两球始终保持L的间距向右运动，则F应为多大? C球所带电性如何? 所带电荷量是多少?

解析：依题意，相邻两球始终保持L的间距向右运动，则三个小球的加速度大小必相同，且方向都向右．设三个球的加速度均为a，C球所带的电荷量为QC．

以B球为研究对象，A带正电，B带负电，QA对QB的作用力FA对B向左，则QC对QB的作用力FC对B必向右，且

FC对B>FA对B，才可使B球产生向右的加速度．显然，C球必带正电．

由牛顿第二定律有：

FC对B-FA对B=ma

由库仑定律有：

FC对B=kQC•3q

L2

,FA对B=k

6q•3qL2

,

所以，kQC•3q

L2

-k6q•3qL2

=ma

对A球，QB对QA 的作用力

FB对A

向右，QC对QA的作用力FC对A向左，由牛顿第二定律有：

FB对A-FC对A=ma

注意到：FB对A

=k6q•3qL2

,FC对A=kQC•6q

(2L)2

可得： k

6q•3qL2

-kQC•6q

(2L)2

=ma

解得：QC = 8q,ma=

6kq2L2

对于三个带电小球组成的系统，由牛顿第二定律有：

F= (m+m+m)a，即F=3ma

解得:F=

18kq2L2.

四、与向心力公式的结合应用

例7 氢原子为一个电子绕一个质子做匀速圆周运动．已知质子带电量为e，电子质量为m，带电量为e，氢原子半径为r．忽略质子和电子的万有引力，求电子做匀速圆周运动的速度．

解析：电子和质子之间有相互作用的库仑力，即电子做圆周运动的向心力由库仑力提供．根据牛顿定律得：

ke2r2

=mv2r

，解得：

v=ekmr

．

五、与能量动量的结合应用

图5

例8 如图5所示，两个带同号电荷的小球A和B的质量分别为m和2m，开始时将它们固定在绝缘的光滑水平面上保持静止．它们仅受相互作用的库仑力．现同时释放A、B，经过一段时间后，B的速度大小为v，加速度为a，则此时（ ）

(A) A球的速度大小为mv2，加速度为

a2

(B) B球对A球做的功为mv2，A球的加速度为2a

(C) A球的动能为2mv2，A球的加速度为2a

(D) A球的动量大小为mv，A球的加速度为2a

解析：把两小球作为整体，合外力为零，所以动量守恒，B的速度大小为v时，A球的速度大小为2v，根据动能定理B球对A球做的功为2mv2；它们之间的相互作用力总是相等，所以B的加速度为a时，A球的加速度为2a．正确答案为(C) .

点评：在库仑定律的应用过程中，库仑定律只是给我们提供了电荷之间相互作用力的一种具体计算方法．而解决问题的方法仍然和我们在处理动力学问题时一样，分析物体的受力和运动过程，根据牛顿定律、动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律结合运动学公式求解．

练习：

1．如图6所示，三个点电荷q1、q2和q3，固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电量之比q1 ∶q2∶q3 为（ ）

(A) -9∶4∶-36 (B) 9∶4∶36

(C) -3∶2∶-6 (D) 3∶2∶6

图6 图7

2．（2001年全国高考试题） 如图7所示，q1、q2、q3分别表示在一条直线上的三个点电荷，已知q1与q2之间的距离为l1，q2与q3之间的距离为l2，且每个电荷都处于平衡状态．

（1） 如果q2为正电荷，则q1为 电荷，q3为 电荷．

（2） q1、q2和q3 三者电荷量大小之比是∶

∶.

3．真空中有两个固定的带正电的点电荷，其电量Q1>Q2，点电荷q置于Q1 、Q2连线上某点时，正好处于平衡，则（ ）

(A) q一定是正电荷

(B) q一定是负电荷

(C) q离Q2比离Q1 远

(D) q离Q2比离Q1 近

4．如图8所示，完全相同的两个金属小球A和B带等量异号电荷，中间连接着一根轻质绝缘弹簧，放在光滑绝缘水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x0．现将不带电的、与A和B完全相同的金属球C与A球接触一下后拿走，重新平衡后弹簧的压缩量为x，则（ ）

(A) x=

12x0 (B)

x>12x0

(C) x

x0

(D) x=x0

图8 图9

5．三个质量相等的带电小球，置于光滑绝缘的水平桌面上的一个边长为L的正三角形的三个顶点上，如图9所示．已知a、b两球皆带正电且电荷量为q．现给c球一个恒定的拉力F，使三个球恰好在相对位置不变的情况下以相同的加速度一起做加速运动，问：

（1） c球应带什么性质的电，电荷量为多少?

（2） 恒力F应为多大?

6．三个质量相等的带电小球固定在光滑绝缘水平面上，若只释放A，则加速度大小为a，向左；若只释放B，则加速度大小为2a，向右；求若只释放C时加速度的大小和方向．

图10

7．一根放在水平面内的绝缘性很好的光滑玻璃管，内部有两个完全相同的弹性金属小球A和B，A、B两球所带电荷量分别为9Q、-Q．两球从如图10所示位置由静止释放，问A球再次经过图中位置时的瞬时加速度为释放时的几倍？

答案：

1．(A) 2．（1） 负、负 （2）

（l1+l2l2

)2∶

1∶

(l1+l2l1

)2

3．(D) 4．(C)

5．c球应带负电，Q =2q，

F=

33kq2L2

6．aC=-a，即只释放C时加速度的大小为a，方向向左.

7．A球瞬时加速度为释放时的

169倍

河南省者平县第一高级中学（474250）