力学矢量计算

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平行四边形定则是一切矢量运算的普适定则，利用平行四边形定则解题，确定平行四边形是最关键的一步.如果平行四边形四个顶 点中有三个确定，这个平行四边形就是唯一确定的.例如求F1和F2的合力，如图1所示，因为A、B、O三点是确定的，利用平行四边形的性质，可以画出平行四边形，求出合力F，但我们所遇到的许多题目中，能确定的只有两个点，这样确定第三个点就至关重要了.

一、在矢量的合成与分解中的应用

这类题目因有一矢量大小和方向已知，因此平行四边行中有两点是确定的，第三点有条件控制.

例1 分解一个力，若已知它的一个分力F1的大小和另一个分力F2的方向，以下论述中正确的是（ ）.

A.只有唯一的解 B.一定有两解

C.可能有无数解 D.可能有两组解

解析 如图2所示，合力已知，即A、B两点确定，第三点C由两个条件控制F1的大小和F2的方向.C与A的连线为F2，因此C点一定在虚线上，C与B的连线长表示F1的大小，满足这个条件的C点在以B为圆心，表示F1的线段长为半径的圆上，两个条件都满足的C点是圆和虚线的交点，因为圆与虚线分别有0、1、2个交点，也就无解，一解和两解三种情况，则选项D正确.

例2 用两根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图3所示，已知绳oc和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则oc绳和bc绳中的拉力分别为多大？

解析 如图 4所示，两绳拉力等于重力沿绳子方向的分力，因重力已知，则平行四边形中A、B两点确定，第三点由两分力的方向确定，因此过B点做射线AE的平行线与射线AC的交点D即为所求第三点，然后利用平行四边形对边平行做出平行四边形.由几何关系有：

Foc=mgcos30°=32mg

Fbc=mgcos60°=12mg

二、在利用矢量三角形解动态平衡问题中的应用.

矢量三角形为平行四边形的一半，因此矢量三角形来源于平行四边形.判断处于动态平稳问题中各个力的变化，通常采用矢量三角形图解求 解.这类问题中的第三点是在条件的控制下移动.

1.三力中有一力大小和方向确定，另一力的大小或方向确定.

例3 如图5所示，小球用细绳系住放在倾角为 的 光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力如和变化？

解析 物体在三个力的作用下保持平衡，重力G的大小，方向不变，支持力FN的方向不变，FT的方向改变，则FN和FT的合力F不变.如图6所示，Oa表示合力F，第三点在射线ac上，起始位置为b，线段ab表示FN，线段ob表示FT，当A向上偏移时，b沿ac向上偏移.由此可知细绳拉力FT先减小后增大.

例4 如图7所示，小球质量m，用一细线悬挂，现用一大小恒定的外力F（F

解析 小球在重力、细线的拉力和外力F作用下保持平衡，其中重力G大小、方向保持不变，外力大小不变，则外力F和拉力FT的合力F合保持不变，如图8所示，矢量三角形中A、B两点确定，第三点与A的连线表示外力F.因此第三点在以A为圆心，表示外力F大小的线段为半径的圆上，BC连线即为细绳拉力，由图8可知，BC与AB的夹角最大为α=sin-1FG.

2.三个力中有一个力大小和方向确定，另二力变化有规律.

例5 如图9所示，有一小球用一细线挂靠在光滑半球上，细线上端通过一个定滑轮，当用力将小球缓慢往上拉的过程中，分析小球所受的各个力的变化.

解析 小球所受的三个力 的合力为零，其中重力的大小、方向不变，因此支持力FN和绳的拉力FT的合力F合不变.如图10所示，矢量三角形中MN两点确定，因为矢量三角形EMN与几何三角形 AOB相似，因此第三点E的变化与几何三角形中的B点一样，E点在以M点为圆心，表示FN的线段ME长度为半径的圆上移动，即FN不变，FT减小.

例6 用等长的细线OA、OB 悬挂一重物，A、B固定在金属半圆ABC上，开始时OA绳水平，现保持重物位置不变，转动金属框架，使OA、OB同时顺时针转过90°，则在此转动过程中，OA绳拉力如何变化？

解析 重力，两绳拉力合力为零，因FA、FB的合力恒定，即M、N两点确定，如图11所示，因为FA、FB的夹角保持不变，因此第三个点C在圆上顺时针转动，比照图形的几何性质，当MC增大到成为一条直径后再逐渐减小，因此OA绳的拉力先增大后减小.

三、正交分解法在力学中的应用

正交分解法的三个步骤：

第一步，立正交 x、y坐标，这是最重要的一步，x、y坐标的设立，并不一定是水平与竖直方向，可根据问题方便来设定方向，不过x与y的方向一定是相互垂直而正交.

第二步，将题目所给定跟要求的各矢量沿x、y方向分解，求出各分量，凡跟x、y轴方向一致的为正；凡与x、y轴反向为负；凡跟轴垂直的矢量，该矢量在该轴上的分量为0，这是关键的一步.

第三步，根据在各轴方向上的运动状态列方程，这样就把矢量运算转化为标量运算；若各时刻运动状态不同，应根据各时间区间的状态，分阶段列方程.这是此法的核心一步.

第四步，根据各x、y轴的分量，求出该矢量的大小，一定

要标明方向，这是最终的一步.

求物体所受外力的合力或解物体的平衡问题时，常采用正交分解法.所谓“正交分解法”就是将受力物体所受外力（限同一平面内的共点力）沿选定的相互垂直的x轴和y轴方向分解，然后分别求出x轴方向、y方向的合力ΣFx、ΣFy，由于ΣFx、ΣFy相互垂直，可方便的求出物体所受外力的合力ΣF（大小和方向）

例7 300N的重物在与水平地面成37°角的斜向上的100N的拉力作用下，沿水平地面向右做直线运动，若重物与地面间的动摩擦因数为0.25，求重物受到的外力的合力.

解 采用图12所示的坐标系（如此选择，物体受到的四个力中只有拉力F不与坐标轴重合），重物受力如图2所示，因物体沿水平方向做直线运动，应有

Fsin37°+FN-G=0

所以地面支持力

FN=G-Fsin37°=300N-100×sin37°N=240N

所以合力∑F=cos37°-f=Fcos37°-μFN=100×0.8N-0.25×240N=20N

此合力ΣF的方向沿x轴正方向，即运动方向.

运用正交分解法解平衡问题时，根据平衡条件F合=0，应有ΣFx=0，ΣFy=0，这是解平衡问题的必要和充分条件，由此方程组可求出两个未知数.

例8 重100N光滑匀质球静止在倾角为37°的斜面和与斜面垂直的挡板间，

求斜面和挡板对球的支持力F1， F2.

解 选定如图13所示的坐标系，重球受力如图13所示.由于球静止，所以有

F1-Gcos37°=0

F2-Gsin37°=0

F1=Gcos37°=100×0.8N=80N

F2=Gsin37°=100×0.6N=60N

在某些情况下，有时也可以用“斜交分解法”解平衡问题，这样反会更方便，所谓“斜交”就是所选的x轴与y轴不垂直，这时的平衡条件仍为ΣFx=0、ΣFy=0.

例9 重100 N的光滑匀质球静止在倾角为37°的斜面和竖直挡板间，求斜面和竖直挡板对球的支持力F1和压力F2.

分析 此题若仍采用例3所选取的坐标系，则需将重力G和竖直挡板对球的压力N进行正交分解，如图14所示.则由方程组

F2cos37°-Gsin37°=0

F1-F2sin37°-Gcos37°=0

可求出F1、F2，但此法较麻烦.而用斜交分解就显得方便.具体做法如下.

解 选定如图15所示的斜交坐标系.球受力如图所示.

由于球静止，则有F1-Gcos37°=0

F2-Gtan37°=0

所以F1=Gcos37°=1000.8N=125 N

F2=Gtg37°=100×0.75

N=75 N

当然，此题若根据F1与F2的合力与重力G的平衡关系求解也较方便.此题的做法说明：将力如何分解要根据解题的需要，要指出的是，求非平衡共点力的合力时不宜采用斜交分解，因为此时ΣFx与ΣFy已不垂直，会给求合力带来不便.