风险厌恶假设下的供应链利润分享契约协调机制研究
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摘要：笔者考查具有风险厌恶偏好的由生产商主导的两级供应链，利用均值方差方法分析利润分享契约机制对供应链协调的影响，提出了考虑风险因素情况下的利润分享契约机制，得出集中决策下供应链达成协调的充要条件。笔者讨论分散决策情况的斯塔克尔伯格博弈均衡解，并通过数值分析研究验证：分散决策时无法实现供应链的协调。相比较于风险中性的情况，风险厌恶假设下供应链的收益会产生效率损失，而且成员越厌恶风险，损失越大。
基金项目：国家自然科学基金（61004120）。
作者简介：伍强（1986-），男，湖南澧县人，硕士，主要从事供应链契约设计研究；刘春玲（1972-），女，湖北咸宁人，副教授，博士，硕士生生导师，主要从事集群式供应链研究；郭君（1984-），男，湖北黄石人，助教，主要从事物流与供应链管理研究。
中图分类号：F252文献标识码：A文章编号：1006-1096（2012）06-0101-06收稿日期：2011-09-30
引言
为了克服供应链中的“双边效应”，许多学者对建立激励性契约以实现供应链协调做了大量研究。数量柔性契约（Lian et al，2009）、回购契约（Pasternack，1985）、收益共享契约（Cachon， 2002）、销售折扣契约（Taylor，2002）、数量折扣契约（Lau et al，2009）等契约机制均是以供应链各成员企业为风险中性者的假设为前提进行研究的。考虑到风险偏好对供应链决策的重要性，对风险厌恶者的研究也越来越流行。Gan（2004）研究单个风险中性的供应商和单个风险厌恶的零售商组成的两级供应链，收益共享契约和批发价契约并不能使得含风险厌恶者的供应链达到协调。Agraval 等（2000）研究零售商具有风险厌恶偏好的供应链中，相比较于风险中性的零售商，风险厌恶零售商会订购更少的产品。Buzacott等（2001）分析了具有风险厌恶偏好的报童问题，通过构建期权契约，使用均值方差方法对供应链协调进行研究。叶飞（2006）探讨了单一风险规避者零售商加盟的两级供应链中，标准回购契约协调供应链所需的激励成本过高，很难使得风险中性供应商和风险规避零售商达成紧密合作关系。Suo（2004）分析了在风险厌恶零售商存在的两级供应链中，VMI可以协调供应链。Wang（2007）研究了收益——损失分享契约对供应链渠道协调的影响。假定生产商是风险中性者，零售商是风险厌恶者，证明了该契约不仅能协调供应链而且还可以分配供应链期望利润。赵正佳（2010）对农产品供应链期权契约进行了分析。综上所述，大部分文章要么研究供应链成员企业都是风险中性者，要么研究的是风险中性者和风险厌恶者的组合，很少有文章研究零售商和生产商均为风险厌恶者时契约对供应链的协调问题。
另外，传统的批发价契约因为存在双边效应无法协调供应链，笔者研究通过引入利润分享激励机制可以实现供应链整体优化。基于上述原因，笔者分析在由零售商和生产商均为风险规避者组成的两级供应链中，生产商为领导者，零售商为跟随者，利润分享契约可以协调供应链，分析风险规避程度和利润分享比例对最优订货量、供应链各成员企业期望利润的影响，得到集中决策下实现供应链协调的充要条件。笔者进一步分析在分散决策的情况下，得到斯塔克伯格博弈均衡解。
一、问题描述及符号说明
笔者研究的是由1个生产商和1个零售商组成的两级供应链契约设计问题。零售商为了满足不确定性的市场需求，从生产商处订购Q单位的产品。假定零售价格r是外生变量，生产商生产产品的单位生产成本为c，零售商从其处订购产品的批发价格为w，并且单位产品的残值为v。市场需求D是一个非负的、连续随机变量，其密度函数、累计分布函数分别为fx、Fx。假定供应链是风险中性，生产商和零售商风险偏好相同，两者均为风险厌恶者。为了改进供应链绩效，生产商和零售商建立批发价利润分享契约机制，该契约包含2个重要变量：批发价w和利润分享比例。在WPPS契约下，零售商获取其利润的，剩余的1-返给生产商。当=1时，利润分享契约转化为纯粹的批发价契约，零售商不返利润；当=0时，供应链转化为垂直一体化供应链，零售商不产生利润，可以视其为供应商的一部分。为避免极端情形出现，假定0
二、利润分享模型
当供应链处于集中决策情况下即一个公司控制整条供应链时，整个供应链的预期收益函数为EπSC=（r-c）Q-（r-v）∫Q0（Q-x）f（x）dx（1）此时的零售商的最优订货量必须从供应链利润最大化的角度考虑，即对上式Q求导，得2EπSCQ2
证明：
由于QR.Eπ=F-1[（r-w）/（r-v）]并且独立于，F（·）是连续的递增函数，因而QR.Eπ与批发价格w负相关。
对EπSC（QR.Eπ）中的w求一阶导数：
dEπSC（Q）dw=EπSC（Q）Q·dQdw+EπSC（Q）w，其中，当Q=QR.Eπ时，
EπSC（Q）Q=（r-c）-（r-v）F（Q）≥0， 又EπSC（Q）w=0，所以EπSC（QR.Eπ）与批发价w负相关，与利润分享比例无关。
同理可以证得EπR（QR.Eπ）与批发价w负相关，与利润分享比例正相关，EπM（QR.Eπ）与利润分享比例负相关。
零售商的预期收益方差为SπR=（r-v）2Q∫Q0F（x）dx-2∫Q0xF（x）dx-∫Q0F（x）dx2（5）令ξ（Q）=2Q∫Q0F（x）dx-2∫Q0xF（x）dx-∫Q0F（x）dx2
对ξ（Q）求Q的偏导，显然ξ′（Q）=2（1-F（Q））∫Q0F（x）dx≥0，因为0≤F（Q）≤1
因而（5）式可以表达成SπR=（r-v）ξ（Q）（6） 生产商为风险规避者时其预期收益为EπM=[（1-）（r-w）+w-c]Q-（1-）
（r-v）∫Q0（Q-x）f（x）dx（7）预期收益方差为SπM=（1-）（r-v）ξ（Q）（8）从（6）式和（8）式可以看出，利润分享契约中，生产商不仅分享了零售商的利润，同时也分担了零售商的利润风险，这也是激励零售商与生产商订立利润分享契约的动机。
命题2：SπR（QR.Eπ）与批发价w负相关，且与利润分享比例正相关；SπM（QR.Eπ）分别与批发价w和利润分享比例负相关
证明：
从（6）式显然可以看出与Q正相关，而从命题1得到QR.Eπ，与批发价格w负相关；同时也可以看出SπR与利润分享比例正相关，而QR.Eπ与利润分享比例无关，由此可以证明SπR（QR.Eπ）与批发价w负相关，且与利润分享比例正相关。
同理，可以类似地证明SπMQR.Eπ分别与批发价w和利润分享比例负相关
三、集中决策
笔者考虑集中决策下利用均值方差方法分析利润分享契约机制。假定生产商是供应链的协调者，即整条供应链的决策者，其决策要引导零售商的订货量等于供应链最优订货量，只有这样才能使得供应链协调。具体来说，作为协调者的生产商确定批发价和利润分享比例，零售商根据已确定的批发价和利润分享比例确定自身的订货量，该订货量与供应链最优订货量应保持一致，此时供应链达到最优。
给定（w，），零售商的最优订货量满足的条件是maxQEπRQ，w，
s.t. SπRQ，w，≤kR（9）其中，kR≥0表示零售商风险规避程度临界值，其值越小表明零售商越害怕风险。令QR，MV（w，）为满足（9）式的零售商最优订货量，那么其有效解满足Q∈[0，QR，Eπ（w，）]，由于QR，Eπ（w，）与利润分享比例无关，故可以表示为QR，Eπ（w）。
令QR，Sπ（w，）表示满足SπR（Q，w，）≤kR的最优订货量，即QR，Sπ（w，）=argmaxQ{SπR（Q|w，）-kR≤0}（10）由于QR，Sπ（w，）与w无关，故可以表示成QR，Sπ（）。关于零售商的最优订货量QR，MV（w，）可以得到命题3。
命题3：在利润分享契约下
（1）零售商的最优订货量为
QR，MV（w，φ）=min{QR，Eπ（w），QR，Sπ（）}
（2）QR，MV（w，φ）关于w和φ弱减。
证明：
根据定义，QR.Eπ（w）是零售商期望利润最大化的订货量。
若风险约束SπR（QR.Eπ（w），）≤kR，那么满足（9）式的最优订货量为QR.MV（w，）=QR.Eπ（w）≤QR.Sπ（），此时QR，MV（w，）关于批发价w弱减。若风险约束SπR（QR.Eπ（w），）>kR，那么QR.MV（w，）=QR.Sπ（）≤QR.Eπ（w），假定kR已给定，那么当1>2时，则有QR，Sπ（1）
归纳后得到QR，MV（w，φ）=min{QR，Eπ（w），QR，Sπ（）}，QR，MV（w，）关于w和弱减。
命题3说明了风险规避程度约束对于零售商决策的影响。在风险约束条件下，零售商订货量比风险中性情况下要少，即QR，MV（w，）≤QR，Eπ（w），所以供应链预期收益也会降低。假定kR固定，那么利润分享比例越小，则此时的订货量QR，Sπ（φ）越大，与之类似可以说明w越小，订货量QR，Eπ（w）越大。因此w和越小，零售商订货量越大，供应链期望收益越高。
对于制造商来说，需要决策的是最优批发价wsc和最优利润分享比例sc，也就是说使得零售商的订货量与供应链最优订货量Qsc保持一致。当制造商确定w=wsc、=sc时，可以使得风险约束下的零售商最优订货量QR，MV（wsc，φsc）=Qsc。
设w∧满足QR，Eπ（w）=Qsc，w∧可以根据（11）式计算。w∧=r-（r-v）F（Qsc）（11）计算得到w∧=c，因此对于w≤w∧=c，QR，Eπ（w）≥Qsc。
设∧满足QR，Sπ（）=Qsc，若（r-v）ξ（Qsc）>kR，那么∧可以根据（10）式计算，即∧=kR（r-v）ξ（Qsc）.（12）由于kR≥0，r>v，那么∧≥0。对于0
命题4：在集中决策下考虑风险约束时，（1）当（r-v）ξ（Qsc）>kR时，WPPS（w，）契约下供应链达到协调时的充要条件即最优批发价wsc和最优利润分享比例φsc必须满足（a）wsc=w∧，sc∈（0，∧]，或者（b） wsc≤w∧，sc=∧。（2）当（r-v）ξ（Qsc）≤kR时，供应链协调的充要条件是wsc=w∧，φsc∈（0，1）。
证明：
（1）当（r-v）ξ（Qsc）>kR时，有0≤∧
充分性：
若（a）wsc=w∧，sc∈（0，φ∧]，则QR.Eπ（wsc）=QR.Eπ（w∧）=Qsc，
且QR.Sπ（sc）≥QR.Sπ（∧）=Qsc。因此QR，MV（wsc，sc）=QR.Eπ（wsc）=Qsc，此时供应链达到协调。
若（b）wsc≤w∧，sc=∧，则QR.Eπ（wsc）≥QR.Eπ（w∧）=Qsc，
且QR.Sπ（sc）=QR.Sπ（∧）=Qsc。因此QR，MV（wsc，sc）=QR.Sπ（sc）=Qsc
必要性：
根据命题3，有QR，MV（wsc，sc）=min{QR，Eπ（wsc）， QR，Sπ（sc）}。下面讨论2种情况。
第一种情况：QR，MV（wsc，sc）=QR.Eπ（wsc）=Qsc
因为QR.Eπ（wsc）是零售商预期利润最大时的订货量，而QR.Eπ（wsc）=Qsc，由（11）式可知wsc=w∧。由QR，MV（wsc，sc）=QR.Eπ（wsc）可以推出QR.Sπ（sc）≥QR.Eπ（wsc）=Qsc，因为QR.Sπ（）关于递减，因此sc∈（0，∧）。
第二种情况：QR，MV（wsc，sc）=QR.Sπ（sc）=Qsc
由QR.Sπ（sc）=Qsc可知sc=∧，又QR，MV（wsc，sc）=QR.Sπ（sc）可以推出QR.Eπ（wsc）≥QR.Sπ（sc）=Qsc.因为QR.Eπ（w）关于w递减，由此可知wsc≤w∧。
（2）当（r-v）ξ（Qsc）≤kR时，表明风险约束无效，此时供应链若要协调的充要条件即QR，MV（wsc，sc）=QR.Eπ（wsc）=Qsc，因此wsc=w∧，此时的sc为区间（0，1）内的任意值。
四、分散决策
综上，生产商扮演供应链协调的角色，决策目标是整条供应链的期望收益最大化。笔者将讨论不合作的情况下的分散式决策，即生产商和零售商分别只考虑各自的期望收益和风险，其中没有协调者的角色。
在分散决策情况下，零售商确定的最优订货量满足的条件与（10）式一致。然而，此时生产商不再是协调者的角色，生产商确定的最优批发价和利润分享比例满足以下条件maxw，EπM（QR（w，））
s.t. SπM（QR（w，））≤kM（13）其中，kM≥0表示生产商风险规避程度临界值，QR（w，）表示在给定w和条件下零售商最优订货量。此时生产商为了使得在风险约束前提下期望收益最大化，从而确定自身最优的w和，引导零售商订购QR（w，）。
分散情形下的决策实际上就是斯塔克尔伯格博弈，生产商是领导者，决定w和，零售商是跟随者，确定QR（w，）。由此，可以得到命题5。
命题5：对于w∈（c，r]和∈（0，1），（1）QR（w，）关于w和弱减；（2）SπM（QR（w，））关于w和弱减，SπR（QR（w，φ））关于w弱减。（3）EπM（QR（w，））关于弱减，EπR（QR（w，））关于w弱减。
证明：
（1）证明过程类似于命题3。
（2）SπM（QR（w，φ））=（1-）（r-v）ξ（QR（w，）），由于QR（w，）关于w弱减，而ξ（·）是增函数，即SπM（QR（w，））关于w弱减。对SπM（QR（w，））的求一阶导数即
dSπM（QR（w，））d=-（r-v）·ξ（QR（w，））+（1-）（r-v）2ξ（QR（w，））·ξ′（QR（w，））·dQR（w，）d。因为ξ（·）是增函数，QR（w，）关于弱减，所以dSπM（QR（w，））d≤0，即SπM（QR（w，））关于弱减；SπR（QR（w，））=（r-v）ξ（QR（w，）），因为QR（w，）关于w弱减，而ξ（·）是增函数，即SπR（QR（w，））关于w弱减。
（3）EπM（QR（w，））=[（1-）（r-w）+w-c]QR（w，）-（1-）（r-v）∫QR（w，）0F（x）dx对求一阶导数，即
dEπM（QR（w，））d=
-（r-w）QR（w，）-（r-v）∫QR（w，）0F（x）dx+[（1-）（r-w）+w-c-（1-）（r-v）F（QR（w，））]dQR（w，）d
显然dEπM（QR（w，））d≤0，即EπM（QR（w，））关于弱减。
同理可以证明EπR（QR（w，））关于w弱减。
考虑到实际情况中利润分享比例通常是由双方根据自身谈判力量协商决定的，因此假定利润分享比例是预先确定的固定值，那么考虑风险约束的利润分享契约转化为利润分享比例给定后的单一价格契约。
递增的广义失效率分布（increasing generalized failure rate）简称IGFR，在该分布中广义失效率函数（GFR） h（x）=xf（x）/F-（x）满足h′（x）≥0，即对满足F-（x）
命题6：在预先给定利润分享比例的前提下，如果需求分布是IGFR分布，那么生产商偏爱的最优订货量必须满足F-（Q）1-h（Q）=（c-v）/（r-v）（14）证明：
EπM′=（1-）（r-w）+w-cQ-（1-）（r-v）∫Q0（Q-x）f（x）dx，对Q求一阶导数：dEπMdQ=EπMQ+EπMw·dwdQ=（1-）（r-w）+（w-c）-（1-）（r-v）F（Q）+QdwdQ。
零售商的订货量Q与批发价w成一一对应关系，可以表示为w=r-（r-v）F（Q），dwdQ=-（r-v）f（Q）代入上式可以得到
dEπMdQ=（r-c）-（r-v）F（Q）-（r-v）Qf（Q）=（r-v）F-（Q）1-Qf（Q）F-（Q）-（c-v）
令其等于0，可以得到F-（Q）1-h（Q）=（c-v）/（r-v）。
生产商确定了所偏爱的订货量，然后可以得到一一对应的最优批发价w0，此时wo>c。现在来考察风险约束对供应链决策的影响。给定利润分享比例，QR，Sπ（）是满足SπR（Q，w，）≤kR的最大订货量，令与其一一对应的批发价为w1。w1=r-（r-v）F（QR，Sπ（））（15）QM，Sπ（）满足SπM（QR（w，））≤kM，令与其一一对应的批发价为w2。w2=r-（r-v）F（QM，Sπ（））（16）当kR与kM趋向于无穷时，QR，Sπ（）和QM，Sπ（）同样趋向于无穷，因此w1和w2趋向于产品残值v。若kR很大，说明零售商风险厌恶程度很低，即风险约束对零售商订货量影响很小，从而QR，Sπ（）很大，相应的批发价w1很小。尤其是当kR>（r-v）ξ（QSC）时，那么v
为了分析具有一般性，必须排除极端性的情况。假设风险规避临界值不显著大，即kR≤（r-v）ξ（QSC），kM≤（1-）（r-v）ξ（QSC），可以推出w1≥c，w2≥c。
命题7：利润分享比例给定的前提下，若需求分布是IGFR分布，则最优的批发价wd=max{w0，w1，w2}。
证明：
（1）QR，Sπ（）≤QM，Sπ（），因为QR，MV（w，）=min{QR，Eπ（w），QR，Sπ（）}，
那么QR.MV（w，）
当w>w1，QR.Eπ（w）
归纳可得wd=max（w0，w1）
（2）若QR，Sπ（）>QM，Sπ（），生产商需要确定的批发价w须满足QR，MV（w，）=QR，Eπ（w）
因此wd=max（w0，w2）
五、结论
笔者在由零售商和生产商均为风险规避者构成的两级供应链中提出一种供应链利润分享契约，分析了供应链的协调问题。
不同于分散决策情形下的供应链存在斯塔克尔伯格博弈均衡解，零售商的最优订货量由期望利润和风险约束临界值决定，其中风险约束临界值越大，供应链的利润则越高。在集中决策情况下，生产商作为供应链的协调者，通过制定批发价引导零售商订购供应链最优的产量，可以得出集中决策下供应链协调的充要条件即最优的批发价和利润分享比例，从而实现供应链的协调。通过比较分散决策下的供应链整体收益和集中决策下的供应链收益，研究发现分散决策存在显然的效率损失，无法实现供应链的最优化。相对于无风险约束的情况，考虑风险厌恶的供应链也会产生效率损失，且成员越厌恶风险，供应链效率损失越大。
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（编校：薛平）
Supply Chain Coordination with Profit Sharing Contract under RiskAversion Assumption
WU Qiang1， LIU Chunling1， GUO Jun2
（1.Management School WuhanTextile University， Wuhan 430073； 2.Wuhan Teacher’s College Huangshi， 435000， China）
Abstract：This paper studies a manufacturerdominated twolevel supply chain both with riskaversion preference by exploring the use of profit sharing contract for coordinating supply chains under the meanvariance （MV） decision framework. It is found that there exists a unique equilibrium of the Stackelberg game with profit sharing contract in the decentralized case. A numerical analysis indicates that the channel coordination is imposible in decentralization， there exisits supply chain efficiency loss under the riskaversion assumption， the more riskaverse of the member， the less efficiency.
Key words：Profit Sharing Contract ； Risk Aversion ； Supply Chain Coordination