数列 第13期

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成都树德怀远中学吴清明

[摘要]数列是特殊的函数，使用函数的方法进行研究的时，是否符合其特殊的性质。数列是特殊的函数，针对教学中出现的典型问题，从数列的定义域、图象、解析式、单调性四方面进行对比研究，将数列的特殊之处展现。

[关键词]数列 函数 对比研究定义域 解析式图象单调性

数列是特殊的函数。教学中，我们常常使用函数的思想去研究数列，用研究函数的方法去研究数列的性质。但是，我们是否忽略了数列它的本质与独特性质呢？数列作为特殊的函数，其特殊之处我们又是否了解？

一、数列通项公式中的 取值范围与函数的定义域

通项公式 中 的取值范围为正整数集或其子集{1,2,3，…， }，取值是离散的。而函数定义域是R或其子集，取值离散或连续都可以。

同时，由于 的取值范围为正整数集或其子集{1,2,3，…， }，使得数列 的图象为第一象限中一群离散的点，而不是连续的曲线。

二、数列通项公式与函数的解析式

等差数列中 ，它是一次型函数而非一次函数，因为 ， 的系数 可以为0。

等比数列中 ，它并不是指数函数或则指数型函数，因为 可以为1，也可以为负数。

三、数列的单调性与函数的单调性

1、 通项公式 与对应函数

典型问题：{ }为递增数列且 ，求 的取值范围

方法一：把 看做关于 的二次函数，由于 是从1开始取值的，所以要使该函数在 上单调递增，则对称轴 ，即

方法二： 为递增数列，根据定义：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面一项（即 ），这样的数列叫递增数列。

= = 对任意正整数 恒成立即 对任意正整数 恒成立，也就是只要 大于 的最大值即可

又当 时

两种方法的答案是不同的，哪一个错了？为什么？

经过讨论、研究，发现：数列的单调性和函数的单调性之间是不等价的。数列虽可看做定义在正整数集（或其有限子集）上的函数 ，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，但在讨论单调性时，由于数列图像的离散特征明显，而对应函数图像的连续特征明显。因此，对称轴 满足条件，但并没有将 取值全部求出。当对阵轴在（1,2）之间时，从第二项开始是递增的，只是 与 的大小关系不确定。因此，只要 ，就能保证数列是递增数列。

结论：①若 在[1, )上是增函数，则数列 是递增数列；反之，不成立。

②若 在[1, )上是减函数，则数列 是递减数列；反之，不成立。

2、 递推公式 与对应函数

典型问题：设函数 与数列 满足关系：① ，其中 是方程 的实数根② ， ，如果 的倒数满足

（1） 求证：

（2） 是比较 的大小关系，并证明你的结论

该问题引出研究课题：数列的单调性与递推公式对应函数的单调性间是否有必然的联系？

结论：① 在 上是增函数且{ }是递增数列

证明：用数学归纳法证明

当 ， ，因为 在 上是增函数且 ，则

假设当 结论成立，即

则当 ， 因为 在 上是增函数且 ，则

综上，{ }是递增数列，

② 在 上是增函数且{ }是递减数列

③ 在 上是减函数且{ }是摆动数列

④ 在 上是减函数且{ }是常数列

证明同上 略

数列，是特殊的函数。借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。明确数列的特殊，则能更准确地把握数列的核心和实质，进一步的深化所学的知识。

参考文献：

[1]唐好勇;孙健娜.数列的单调性与函数的单调性《中学数学杂志》2011年7月

[2]袁建甫.数列单调性与对应函数单调性之间的关系.《数学通讯》2009年2月