化难为易 化繁为简

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《圆》是初中几何中重要的内容，也是初高衔接的重要知识点，在近两年泉州中考压轴题中也频频出现，在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效的解题方法，至于利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助圆添加合理，同样可以使分散的条件集中，隐蔽的条件明显；同样为沟通条件与结论之间的内在联系起到事半功倍的作用；同样可以沟通数学知识之间的联系。因此，在平时的学习中，将已知条件、欲求结论以及所给图形，也就是说辅助圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。圆就是到定点的距离等于定长的点的集合。已知条件给出共同端点的几条线段相等，由圆的定义，便可以以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径，引出辅助圆，而后利用圆的有关性质解决问题。

一、可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆

例1.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（2，-3），点P在y轴上，且ABP为直角三角形。请问满足条件的点P有几个？并求出它们的坐标。

解：（1）过点A作APy轴于P

∠PAB=90°P1（0，2）

（2）过点B作BPy轴于P

∠PBA=90°P2（0，-3）

（3）以AB为直径作圆，交y轴于P，设圆心为D

∠APB=90°

D（2，-0.5）

AD=BD=PD=2.5

作DEy轴于E，则E（0，-0.5）

DE=2，OE=0.5

∠PED=90°

DE2+PE2=PD2

PE=1.5

P3（0，1），P4（0，-2）

综上所述：共有4个点P。

典型练习：

在平面直角坐标系中，A（4，0），O为坐标原点，求直线y=x+3上一点P，使AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？

二、利用定义构造圆解题

例2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，则∠BDC=________°，∠DBC=________°。

什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？

条件：有公共端点的等线段；

依据：同圆半径相等。

小结：

当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆。

典型练习：

如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°。则∠ADC的度数为_______。

三、可以利用圆心角与圆周角的关系

例3.如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）

A.3个 B.2个

C.1个 D.不存在

分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，因为ABO为等边三角形所以OB∥l，所以点O到l的距离d

解：此题如果以AB为边作等边ABO，再以点O为圆心，AB为半径作圆交直线l与点P1、P2，∠AOB=60°∠AP1B=30°，∠AP2B=30°，所以满足条件的点P个数是两个，分别为P1、P2。

典型练习：

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm。点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF。当点P与点Q相遇时，所有运动停止.若设运动时间为t（s）。

（1）求AB的长度；

（2）当PE∥CD时，求出t的值；

（3）①设PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；

②如图2，联结DQ、DF，∠ACB=2∠QDF时，t的值为_________。（直接写出答案）

学生已经学习了圆的基本知识，掌握了圆的一些有关性质，并对辅助圆有了初步的认识。对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略，但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多。学生对于一些数学问题容易产生想法，但欠缺的是归纳总结提升，而想要达到目的，就是引导学生学会归纳总结，将以前学过的一些知识从一个新的视角研究，简化证明过程。初步形成构造曲线形辅助线的意识。

（作者单位：福建省泉州外国语中学）