汇集中考精华,深度剖析圆“道”

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中考中常常会出现关于圆的综合题，而有的同学惧怕此类大题目，主要是“不识庐山真面目”.综合题中常常不是某一个知识点难，而是其中涵盖着多个知识点，问题较复杂.综合题中的动态问题是近年来中考数学的热点之一，而动态问题中，又以圆的动态变化最为丰富. 关于圆的运动问题，总体上可分为两大类，一类是圆沿着某一轨迹移动，另一类是圆本身不动，而是点在圆上移动.下面我们就一起来分析有关圆的“运动”问题.

一、 圆动抓圆心，定心即定圆

运动问题分为点动、线动和形动，圆动即形动. 当圆沿着一定轨迹运动时，可利用圆形的特殊性，抓住关键点圆心的运动情况来研究圆的运动情况.

例1 （2011·新疆乌鲁木齐）如图1，在ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动. 当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒.

（1） ①当t=2.5秒时，求CPQ的面积；

②求CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2） 在P、Q移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值；

（3） 以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值.

【解析】（1） 当t=2.5时，CPQ为钝角三角形（锐角、钝角三角形统称为斜三角形），要求斜三角形的面积，常用的方法是“化斜为直”，即把一条已知边或可表示的边作为底，再过CPQ的顶点作出这一底边上的高，然后利用相似或勾股定理求出高.

①如图2，过点P作PDBC于D. 由题意得：AP=2t，CP=10-2t.由相似求出PD，S=■×QC×PD=3.75平方米.

②如图3，过点Q作QEPC于点E. 易知RtQEC∽RtABC，

S=-■t2+3t（0

（2）要CPQ为等腰三角形，但由于没有明确哪边为底或腰，因此可以分成三类：①PQ为底；②PC为底；③QC为底. 然后利用等腰三角形和相似的知识求出t值.

当CPQ为等腰三角形时，t=■秒（此时PC=QC），■秒（此时PQ=QC），或■秒（此时PQ=PC）.

（3） 求以P为圆心和Q为圆心的圆相切时t的值，①要考虑是哪种相切；②要画出大致符合要求的图形；③将相切这一条件转化为线段PQ的长；④类比（1）（2）两小题的求法——利用相似以及勾股定理，求出t值.（画图时不需要画出两个圆形，我们知道此时圆心定即圆定，因此可将圆的问题转化为两点P、Q的距离问题.）

如图4，过点P作PFBC于点F，当两圆外切时，有PQ=PA+QC=3t，易得PCF∽ACB，PF=6-■t，FC=8-■t，则在RtPFQ中，由勾股定理得t=15■-35；

当两圆内切时，有PQ=PA-QC=t，同上法可得t=■，或t=5.

【点评】该题综合考查了勾股定理、相似三角形以及圆的相关知识. 在第（3）小题中，圆P和圆Q动，即点P和Q动，从而将两圆的位置关系相切（内切和外切）转化为了两点P、Q之间的距离.

二、 点动圆静，化动为静

动态问题可以理解为由无数个静态过程演变而来的结果，遇到运动问题时，我们可先将动点看成轨迹上的任意静点，转化为静态问题来研究，最后作出符合要求的图形，解决问题.

例2 （2013·江苏常州）如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过点O作ODOC，OD与O 相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB.

（1） OC∥AB时，∠BOC的度数为_____；

（2） 连接AC、BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值；

（3） 如图6，连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由.

【解析】（1） A（6，0），B（0，6），AO=BO，又∠AOB=90°，∠OBA=∠OAB=45°，OC∥AD，∠BOC=∠OBA=45°.

（2） 假设C在圆上任意一个位置，在ABC中，AB为确定边，因此可把它作为底边. 若C运动，则C到AB的距离不断变化，由观察可得出，当点C逆时针运动到使∠BOC=135°时，ABC的面积最大. 由三线合一和勾股定理可得S最大=18+9■.

（3） ①如图7，连接BC，过点C作CEx轴，先按题意画出大致符合要求的图形，此时运动问题转化为静止问题.

当点C在第二象限时，由相似和勾股定理可得，C-■■，■.

运动问题中，常常隐含多种情况，考虑要全面.如图8，当点C在第一象限时，同上法可得C■■，■.

② 当点C在第二象限时，如图7，由“边角边”全等可得，BCO≌ADO，∠BCO=∠ADO=90°，又OC为半径，所以直线BC是O的切线；

如图8，当点C在第一象限时，同上可得直线BC是O的切线.

【点评】当点在圆上动时，可由条件作出符合题意的图形，将运动问题转化为静止问题，化难为易.

圆的问题虽千变万化，但总是有其“道”，希望本文能够助同学们早日找到自己的学习之道.