学为中心展过程 突出本质蕴思想
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函数概念是初中数学教师普遍感到难教，学生难学的一节课，可以说是初中数学的“疑难杂症”.为此，本区教研室专门针对此疑难问题组织了《72认识函数》一课的教学研讨活动，笔者有幸接到执教任务，课前和教研同行对本课作了充分的研究和思考，课后受到与会教师的广泛好评.现将本课的教学研究、教学过程整理如下，和各位同行交流.
1 教前研究
拿到课题以后，笔者和教研同行们从理解数学、理解学生、理解教学三个维度着重思考了以下3个问题：如何理解函数概念？为什么学生感到难学？为什么教师感到难教？围绕这3个问题展开了深入探讨，整理如下：
如何理解函数概念？浙教版教材中对函数概念的叙述是“在某一个变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，称y是x的函数.”函数研究的对象是变化过程中两个变量间的依存关系，所谓“确定”、指的是自变量在某一时刻变为常量，“唯一确定”指的是因变量在自变量确定的情况下“被常量”，而且是唯一的.即通常意义下，我们说的“一对一或多对一”是函数关系，但“一对多”不是函数关系.
为什么学生感到难学？首先“函数”这个名称难于直观表达概念内涵，误认为“函数”是一个数.其次，对于八年级的学生来说，函数概念很抽象，是一个全新的学习领域，它和以往所学的描述性的数、式概念和形象的几何概念都有很大的不同，学生很难理解“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性.再者，对于用解析法表示的函数，如y=2x，在学生眼里就是一个二元一次方程.从方程的视角看，x，y就是未知数；从函数的视角看，x，y就是变量.这种视角的转换学生较难适应.
为什么教师感到难教？浙教版教材将本课标题命名为“认识函数”，是要让学生认识函数是什么？它有哪些表现形式？本课既要让学生理解函数的概念，也要让学生认识解析法、列表法、图像法表示的函数.是先介绍函数概念，然后再和盘托出它的三种形式？还是将函数概念贯穿于函数的三种表现形式中，螺旋上升地认识函数概念？前一种教法简单易操作，但是学生理解函数容易浮于表面，后一种方法对教师的课堂驾驭能力提出很大的挑战.
在充分地研讨以后，笔者确定了本课的教学思路，进行了充分的课前准备展开教学.2 教学实况简录
2.1 情景导入，激发兴趣
上课开始，教师和学生从“中餐费”的话题开始.教学片断如下：
师：你们中午在校就餐吗？每天中餐费是多少？
生（众）：8元.
师：每个月的中餐费相同吗？
生（众）：不同.
师：是什么原因导致不同呢？
生（众）：因为每个月在校的天数不同.
师：请大家算笔帐：（屏幕显示以下问题）
问题1：9月份在校21天，每位就餐同学应交中餐费多少？10月份18天、11月份23天呢？（同学们随口报出答案）
师：同学们计算能力真强！确实，天数不同，每个月的中餐费不同！最近有个好消息，快餐公司决定餐费打9折，每餐费用多少？9月份、10月份、11月份的快餐费又是多少？
生（众）：72元！（学生开始费力地笔算）
师：（把投影切换到Excel）看来，大家算得很费劲.我这里有一个计算器（如图），我们先在“D4单元格”输入单价72，再在“C4单元格”输入就餐天数，则E4单元格就会显示相应的中餐费.
CDE
2计算器的奥秘
3x（天）单价y（元）
400
（教师输入19、18、23，屏幕立即显示相应的中餐费）
师：和你计算的结果一样吗？
生（众）：（惊异地）正确！
师：这玩意的计算速度真快！你知道它的奥秘吗？
教学评析 以学生亲身经历的“中餐费”为背景导出“现实生活中因天数改变餐费改变”的事实，以“计算器”运算奥秘为话题，既为导出解析法进行铺垫，又激发了学生强烈的探索欲望.
2.2 抽象概括，彰显本质
师：（双击E4）我们发现这里有个等式：y=D4*C4（板书），D4是什么？（教师引导观察）
生（众）：单价.（板书）
生4：C4是输入的在校天数，y是每月的中餐费.（板书）
师：在我们不断地输入──计算、再输入──再计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？
生5：单价72是常量，在校天数和中餐费都是变量.（板书）
师：什么量因什么量的变化而变化？
生6：中餐费y因在校天数的变化而变化.
师：如果我们用x表示不断变化的在校天数，你会用含x、y的字母改写上面的等式吗？
生7：y=72x.（板书）
师：我们再输入几个x值.（学生报13，17，…，教师一一输入得相应y值，）
师：由以上计算可知，当x等于一个确定的值时，y值是否确定？此时y值有几个？
生8：当x是一个确定的值时，由于单价是常量，它们的乘积也一定是常量，而且只有一个，即y值是确定的，而且是唯一的.
（以下教师再提出全班中餐费与单价72元、在校天数19天、就餐人数x的关系，类似得到y=1368x.鼓励学生在Excel中编制计算公式，并现场运行检验）
师：我们发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.我们将“y=72x”这种表示函数关系的等式叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.生活中有很多变化过程，都存在着函数关系.
（以下学生举例说明，老师鼓励学生用两个变量来描述.）
（2）若i=1∶3，则tanα= .
例2：（1）如图12，AB、ED甲、乙两个斜坡，斜坡 比较陡.
（2）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米.
预习反思对于正切的概念，你还有哪些困惑？写在下面.
个性超市
题组一：
1.如图13，在ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，则tanA= .
2.在RtABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，则tanB= .
3.在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则tanC= .
4.在RtABC中，∠C=90°，tanB=13，AC=1，则BC= .
图13 图14
5.如图14，ABC是等腰直角三角形，根据图中所给数据求出tanC= .
6.如图15，菱形的两条对角线长分别是BD=16，AC=12，较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ= .
图15 图16
7.如图16，某人从山脚下的点A走了410m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为90m，求山的坡度.图17
题组二：
8.已知：如图17，斜坡AB的坡度i=34，若AC=200米，求AB、BC的长.
归纳梳理
本节课的主要知识点.
二、课堂问案
（一）问题预设
（1）是否只有直角三角形中的锐角才有三角函数？一般三角形中的角有没有三角函数？
（2）角A的大小不变，它的正切值是否变化？
（3）既然称作三角函数，谁是谁的函数？谁是自变量？谁是因变量？
（4）三角函数有没有图像？怎样画出来的？
（5）三角函数中的角怎样表示？
（二）师生互动，课堂疑问
问题问题指向问题成因
问题1：tanA中的A是一个角还是一个角度？对于正切函数中的角的含义的理解学生初次接触三角函数，对于函数的内涵和意义理解不清
问题2：在直角三角形中，角A确定，其对边与斜边的比值确定吗？对于相似概念的理解和猜想学生学习了正切函数的定义，对于与之相近的表示方法产生了自己的猜想
问题3：是否直角三角形中的锐角才有三角函数？对于概念中的核心问题――自变量的理解教材中给出的定义只是限于直角三角形中，而学生知道在一般三角形中也有锐角，他们有没有三角函数
问题4：在正切函数中，谁是谁的函数？自变量和因变量分别是谁？对于概念本质内涵的理解类比一次函数、反比例函数，学生想确认在正弦函数中的变量
………………
（三）解疑释惑
问题解疑答惑
问题1从中可以看出学生对于角及角的度数的理解还是割裂开的，角是一个表示法，其度数是一种度量方式，在此表示的意义一样，有了锐角当然其度数也就确定，两者都可以在三角函数中表示.
问题2引导学生反思勾股定理的内容，既然对边与邻边的比值确定，当然斜边与他们的比值也就确定，我们把对边与斜边的比值称为正弦函数，即sinA.
问题3结合对于角度不变正切值不变的解释，学生体会只要是角度不变，我们就可以通过构造直角三角形来求它的对边和邻边的比值，因此只要是锐角就有正切值，不一定非得在直角三角形中，单独的一个锐角也有正切函数.
问题4在引导学生初步理解概念后，引导学生思考，正切函数的结果是一个比值，这个比值是由角的大小决定的，因此角是自变量，比值基函数值是函数.
问题5……
三、案例点评
本案例的最突出特点在于将学生预习导案和课堂问案组成一个有机的整体.预习导案和课堂问案都是精心设计，体现出数学质疑式课堂教学研究的主要特征.其中，预习导案学习目标明确、具体、适当，体现新课程改革的理念，预习导航从问题导入到知识技能到思维延伸再到拓展应用，层层深入，体现了数学知识的形成和数学思维发展的过程，也体现了数学学习的本质要求.个性超市具有“个性”，预习反思、归纳梳理这两个过程很好发展了学生的归纳、总结、反思和知识建构能力.课堂上，各个环节贯彻“以学生为主体，以问题为主线，以质疑为特征”，致力于培养学生的数学质疑能力是最大亮点.本案例的质疑不仅包括引导学生提出不会、不懂的问题，还包括因怀疑而去发现、探索、提出并解决新问题的一系列活动，这不仅有助于激发学生的问题意识和数学学习兴趣，有助于培养学生好问多思的精神和合作探究、交流协作的能力，而且有利于学生独立思维习惯的养成和创新能力的发展.课堂问案正是问题预设、师生互动课堂疑问和解疑释惑过程的真实再现.同时，也是数学质疑式课堂教学研究成果的高度凝练，具有十分重要的参考和借鉴价值.