线性约束条件下的非线性目标函数问题

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内容摘要：高中数学中的线性规划主要是研究在线性约束条件下的线性目标函数的数学规划问题，本文主要是研究在线性约束条件下的非线性目标函数的数学规划的三种问题，即斜率型、距离型、面积型.

关键词：线性 非线性目标函数

我们知道，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划.具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支.

高中数学中与线性规划有关的非线性目标函数主要有：斜率型、距离型、面积型等.

一、 斜率型. 目标函数形如z=ax+by+cdx+e的二元一次分式函数.

例1 动点P(a,b)在不等式组x+y-2

x-y+2>0

y>0表示的平面区域内部运动，则ω=a+b-1a-1的取值范围是_____．

解：依题意有：b>0

a+2b+1

a+b+2>0

而ω=a+b-1a-1=1+b-2a-1

b-2a-1表示图1中三角形的阴影区域内的点P(a,b)与点Q(1,2)连线的斜率.

容易求出b-2a-1∈14,1，所以b-2a-1的取值范围是14,1.即ω的取值范围是54,2

变题1.如果m、n为三次函数f(x)=13x3+12ax2+2bx的两个极值点，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，a∈R,b∈R,那么b-2a-1的取值范围是_____.

解：f′(x)=x2+ax+2b. 依题意有：f′(0)>0

f′(1)

f′(2)>0即b>0

a+2b+1

a+b+2>0.

由例1可以得到b-2a-1的取值范围是14,1.

变题2.设实数x,y满足约束条件y≥0

2x+6y+1≤1

2x+3y+2≥0，求z=2x+3y-12x-1的最大值与最小值.

解：令2x=a,3y=b,则有b≥0

a+2b+1≤0

a+b+2≥0,且z=a+b-1a-1,仿例1解法可得最大值为2,最小值为54.

二、 距离型. 目标函数形如z=ax2+by2+cx+dy+e的二元二次函数.

例2 设实数x,y满足约束条件y>0

x+2y+1

x+y+2>0，求z=x2+y2-2x的取值范围.

解：约束条件表示的区域就是图1，

因为z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1.

设P(x,y),Q(1,0).则z=PQ2-1.容易得到PQmax=7,PQmin=2.

所以z的取值范围是［3,6］.

三、 面积型. 目标函数形如z=axy+bx+cy+d的二元二次函数.

例3 在平面直角坐标系中,如果P(x,y)满足x-4y+4≤0,

2x+y-10≤0,

5x-2y+2≥0.那么当xy取得最大值时,点P的坐标是_____.

解：画出约束条件对应的平面区域是以A(0,1),B(4,2),C(2,6)为顶点的三角形区域（含边界）如图2.

而目标函数xy表示矩形OMPN的面积.显然BC当点在边上运动时, 矩形OMPN的面积才可能取最大值.

因为线段BC的方程是y=10-2x(2≤x≤4).所以S=xy=x(10-2x),容易得到当x=52时, S=xy=x(10-2x)取最大值.此时点P52,5

当然，高中数学线性规划问题中的非线性目标函数还有其他情况，但是解决问题的方法有相似之处，本文不再一一列举.

参考文献：

［1］ 陈益军.高考线性规划问题的题型解读.数学通讯,2010(5，6).

［2］ 胡志勇. 线性规划问题的三种常见题型.高中数学教与学,2008(4).

［3］ 刘崇林. 线性规划中目标函数的几种类型及其向量解法.中学数学杂志 2008(5)

［4］ 陈瑞天. 以根的分布为题设的线性规划问题.中学数学研究，2007（12）