“三元一次方程组”的特色设计与思考

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1教材的地位与变化

“三元一次方程组”是苏科版《义务教育教科书・数学》（以下简称“修订版教材”）七年级下册第十章第4节内容（选学）.

就教材地位变化而言，苏科版《义务教育实验教科书・数学》（以下简称“实验版教材”）将“三元一次方程组”作为第十章（二元一次方程组）章末的阅读材料（转化）呈现.由于学习目标定位为“阅读”，所以常态的教学法就是让学生课后看看而已，没有明确的阅读指向，甚至忽略不计，这对后续用待定系数法求解二次函数解析式、圆的一般方程等通式、通法带来不便.如若学生不会解三元一次方程组，就会造成知识断层或解题思路中途搁浅.因此，就这个层面而言，三元一次方程组的地位有待提高，有必要与二元一次方程组并肩行走.尽管，修订版教材为此作了必要的微调，将其“阅读”地位提升到“选学”行列，但依然不能解决学生不会解的问题.直面考试的压力，大多数教师经常挂在口边的一句话“不考的坚决不讲”，何况是选学，怎么可能讲？相信基于继后学习以及知识结构化的需要，三元一次方程组将会与二元一次方程组齐头并进，携手同行.

就课程标准指向而言，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程内容中指出，“能解简单的三元一次方程组.”其实，要达成这一目标并不像说得那样简单，学生学过了二元一次方程组的解法，解的过程依然磕磕绊绊，没学的可想而知.课标在实施建议中指出，“教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用的过程，并关注对学生人文精神的培养.”这里的“整体性”在一定层面上就要求一次方程组要平行行走，门当户对，当然也包括三元一次方程组.可是，高中教材没留位置，初中教材也没妥善安置，而后续的求解却要用到解三元一次方程组的技术，这就势必产生矛盾.要解决这一矛盾就必须给它合适的位置，在文本空间限量的情况下，只能在教学设计中预留领地.事实上，教材可以在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学认知规律、知识背景和活动经验，合理的安排学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色.这就表明在设计空间弹性限度内，借助校本教材、特色课堂的展演，能解决编者因文本所限而无法解决的问题.

就思想方法孕伏而言，三元一次方程组的解法和应用是转化思想和化归方法的具体表现，思维行走的线路是：三元二元一元.“转化思想方法”不仅是具体知识的精髓，而且是数学课堂教学的灵魂，一直伴随着方程成长，伴随着岁月长大，无处不在、无处不用.

在学习一元一次方程的解法时，让学生明确解方程的过程是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤，将所给方程转化为最简方程x=a的过程.在学习一次方程组的解法时，继续孕育转化思想，让学生明确解一次方程组的过程就是用代入消元或加减消元，将“多元”转化为“一元”的过程.在一次方程（组）的基础上，以“一元二次方程”“可化为一元一次、二次方程来解其他方程”“二元二次方程组”等方程内容为载体，通过教师对蕴涵思想的不断揭示和学生自身的内化，以此领悟并形成转化思想，进而由学生个体归结出解方程组的基本思想：无理方程有理化、分式方程整式化、高次方程低次化、多元方程一元化，凝结为一句话，消元降次简单化.

2特色教学设计与思考

2.1领悟教材

站在初中三年甚至未来六年的层面研读教材是一种教学智慧，能提升课堂教学的执行力.

三元一次方程组在“实验版教材”中编写意图是思想方法大于数学结论，借助生活中转化事例（运动员的姓名转化为号码）、数形转化（引入绝对值就能将实数转化为两点间的距离）、数与式内部运算的转化（引入相反数和倒数就将有理数减法转为加法、除法转化为乘法）以及由方程（组）辗转而来的转化（方程建模可将实际问题转化为数学问题，探求解方程组问题可采用代入消元或加减消元将二元转化为一元）等事项将“转化”的方法变迁为学生的解题思想.然后直白提出，运用“转化”的思想方法，你能解三元一次方程组吗？在说明（只要设法消去某个未知数就可以将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解）的帮助下，借助“试一试”，让学生自主完成求解思路的探求与表达.由此可见，教材行走线路是：转化示例转化思想运用转化方法求解深化认识转化思想.沿着这样的思考主线展开，遵循了学生的认知规律，利于思想方法的孕伏，但疏于解题技艺，不利于后续解题.我们深知强势的“解题关”不过，所有的思想方法在解题视界将沦为“鸡肋”.因此，就某种角度而言，打造解题技艺尤为必要.

“修订版教材”为获取三元一次方程组的求解技艺和思想方法，高仿二元一次方程组的母版.沿着“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式设置了三个活动.活动1是以人人喜爱的“足球运动”为载体，借助“比赛赋分规则”将实际问题转化为数学问题，在建模思想的参与下将数学问题转化为求解三元一次方程组问题.这一思维提炼的过程就是三元一次方程组发生、发展和应用的过程.在“试一试”活动的谐振下，借助小明和小丽的旁白（代入消元和加减消元），能让学生明白如何将三元一次方程组转化为二元一次方程组.在已有的解二元一次方程组经验的支持下，不仅能获得正确结论，还切身领悟转化的思想方法.这一编写序列表明在思维最近发展区内施教，不仅符合学生获得新知的习惯，利于学生思维梯度推进，而且外显教材蕴涵的教学价值.活动2设置一道解三元一次方程组的典例.学生在获得解题经验的基础上，求解不是难事，关键是教师要全方位下放“学权”，学生的作答路径才会是开放的、喜人的；若只是教师“表演”，则教学效果将大打折扣，也就体现不了例题应有的教学价值，违背了编者的设计初衷.在探求例题求解的过程中，插入“想一想”活动，能让学生深度参悟转化思想的支点是消元的方法，利于学生理解“终于思想，源于经验”的微言大义.活动3是具有诊断功能的练习和习题，解方程组具有梯度性，能满足学生学习的个性化需要；第105页104习题的第2题则是二次函数通式求法的范例，为后续用待定系数法求二次函数解析式埋下伏笔.遗憾的是圆的一般方程求法没有触及，出现知识短暂性脱节的现象，延缓了思维伸长的速度.事实上，思维的连续性是排斥因简单而牺牲过程为代价的.

2.2特色设计

活动目标

1.在具体情境中体验三元一次方程组的建立以及求解过程，进一步领悟“模型”思想.

2.能灵活选用消元方法解简单的三元一次方程组，感受运用转化思想的必要性.

活动过程

活动一：学一学

1.足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2.该球队胜、平、负各多少场？

2.三个小动物年龄的和是26岁.流氓兔比加菲猫大1岁，流氓兔年龄的两倍与米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁.求三个小动物的年龄.

设计理念基于学生的爱好兴趣不一样，试图满足个性化学习的需要，提供不同的学习载体，让学生自主选择自己喜欢的问题情境，借此激发思维兴趣的正状态.

活动二：练一练

解方程组：

（1）x+y=20

y+z=19

x+z=21（2）x-y+z=7

x+y=-1

2x-y-z=0

（3）3x-y+z=10

x+2y-z=6

x+y+z=12

设计理念三个方程组的求解过程都具有极强的开放性，不同的消元视角，探解的思路不同.因为每道题未知数的系数具有均衡性，洗练的效果是殊途同归的.这种选材视点既展现一题多解的合情性，还提供了多样化学习的操作范式.

活动三：议一议

1.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=5；当x=1时，y=1；当x=2时，y=2.求a、b、c的值.

2.在方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，当x=-1时，y=0；当x=0时，y=1；当x=-2时，y=1.求D、E、F的值.

设计理念基于数学学习的循序渐进性，为预防知识真脱节，特设课时长远目标性问题，能为继后的二次函数和圆的一般方程的待定求解铺路架桥.

活动四：试一试

1.请任意写出一个三元一次方程组并求解.

2.编制一道以三元一次方程组x+y+z=22

3x+y=47

x=4z+2为模型且符合实际意义的应用型问题.

设计理念立足于“学以致用”的教学观，让学生经历创编问题的过程，感受编者的思维求索过程，深度体悟知识的来龙去脉，挖掘学生的创造潜能.

活动说明

本次活动是借用校本教研时间，改教师间的互动研讨为观察学生的特色学习（游戏、竞赛或小老师的说教等丰富多样的自助形式）.立足于学生全方位自学，下放“组织权”于组内，让学生自行确定学法以及测量学习效果.是一节真正无老师的课堂，所有的教师都是听众抑或学习者，学习效果毋容置疑.为选学而又必学的课程提供一种特色示范，丰富了校本教研的内涵，奠定了学有所优的格局，其中饱含理念的升华和境界的高远.

3对教学设计的两点认识

31欣赏教材应有“度”

教材是达成课程目标、实施教学的重要资源，但绝不是金科玉律，更不是真理的化身，不是不容改动的.因此，欣赏教材应有度.“越度”的教学行为会带来些许不良的后果.要么迷信教材，僵化地使用教材，照本宣科.导致活生生的知识变成了死知识，教师教的死，学生学的板，用的僵硬，束缚了思维的手脚，剥夺了学生创造的契机；要么轻视教材，脱离课本，信马由缰，不分青红皂白的堆砌中考题，举轻若重，远离课程目标，打乱学生学习的心理程序，辜负编者的整编意图，不能实现教材应有的教育价值.因此，欣赏教材理应把握好“度”.本文设计示例就是沿着课本指向，秉持开放理念（兴趣开放、解法开放、思维开放），融入学情、教情、实情、方法、思想供选择性学习的需要，借以提升学习效能.显然，适度的欣赏是对教材的尊重和理解，也是对学生认知规律的尊重，能更好地发挥教材的教育功能，同时也是对编者劳作的尊重和认可.

3.2重组教材应有“心”

教材教材宜教之材.教材能为学习活动提供基本线索和实施素材，不同素材践行的方式不同；同一素材，施教的方式也是千差万别的，这就是教学的辩证法，是对具体学情的有力回应，是对教材进行重组和开发的结果.亦如“一千个读者，就有一千零一个哈姆雷特”的研读观.其实，教材开发的过程就是课堂即将运行的脉络路径，怎样的开发视角就有怎样的教学行为.浅层的开发，造就花架式课堂，表面热热闹闹，实质缺乏数学味，遮蔽数学教学的本质，是一种“假开发”、“粗开发”.尤其是当下的有些赛课，不乏其现象.生活化情境一个接一个，问题接二连三，短短的45分钟能提问上百次，只需回答是或否的频率高.就课堂表征看，学生玩的开心，学的快乐，笑声频频，事实上，缺乏真思考.风声大，雨点小，没有实质性的真收获，只是一种过程性的过场或过场性的过程，是对数学本质的误解.契合学情，基于教材，融入年龄特点、认知情绪、思维惯性、教育规律等教学因子，创造性的增删、重组、改编问题.让问题贴合学生最近发展区，活动吻合学生的能力区，思维行走在学生的经验潜能区，方法衍生在努力伸手可触区，唯有这样，方能让学生得到原本应有的发展.另一侧面是对教材的敬畏和理解，让学生收获真知的同时也发展了自己，创造了专业快速成长的契机.因此，重组教材贵在有“心”.参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011：2-7.

[2]杨裕前，董林伟.义务教育数学课程标准实验教科书（苏科版・七年级下册）[M].南京：江苏科学技术出版社，2008：98-99.

[3]杨裕前，董林伟.义务教育数学课程标准实验教科书（苏科版・七年级下册）[M].南京：江苏科学技术出版社，2012：103-105.

[4]裴光亚.数学教师的专业发展：在书房与教室间穿行的教研人生[M].西安：陕西师范大学出版社，2013：80-88.

[5]钱德春.“作一个角等于已知角”的教学设计与反思[J].中学数学教学参考（中旬），2013（5）：16-17.