高中数学利用向量解题
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由于向量具有数与形的“双重身份”，数学中有很多问题都可以用他来解决。平面向量的应用是学习向量的根本目的，因此掌握向量方法，并能用向量解决有关问题，显得格外重要。根据目前形势分析，在考试中以选择题或填空题形式出现的是平面向量的一些基本问题，而在解答题中出现的一般是以平面向量为载体与其他知识综合的题型较多。以下通过具体题目谈谈向量的应用，以期对大家有所帮助。
向量在函数中的应用非常广泛，比如巧妙应用向量性质解决函数最值问题，代数式的求值问题，会给我们带来新的思路方法，从而更能激发学生们的学习兴趣。
例1.求函数y=12■+５■的最大值
分析：用常规方法求导确定函数的单调性也能解决问题，而通过构造向量，利用向量的性质来解决方法更巧妙。
解：设■=(12，5)，■＝（■，■），
则■=13，■＝３
由■ ■≤■ ■得，y=■ ■≤■ ■=39时，当且仅当■∥■且方向相同时，不等式取“=”，
即5■＝１２■
解得x=■，
当x=■时，ymax=39
二、利用向量证明不等式
例2.求证-1≤■-x≤2
分析：根据题意可引入向量，利用向量的数量积■■=■■cosθ来证明。
证明：设平面上的点O（0，0）A(x，■)，B(-1，1)则向量■=（x，■）=(-1，1)，θ为■与■的夹角，且■=1，■＝■
显然A点是在以原点为圆心，1为半径的上半圆上运动，因此向量■与■的夹角θ∈[0，■]，
■与■=(x，■)(-1，1)=■-x=∠■∠■∠cosθ，
当θ∈[0，■]时，cosθ∈[-■，１]
■■= ■cosθ∈[-1，■]
即-1≤■≤■
三、利用向量解决解析几何问题
向量作为解决几何问题的工具，很好地体现了数与形的转化，利用向量把几何关系转化为数量关系，使思路更清晰，解决问题更简洁。
1.可以利用向量知识求参数的取值范围，解决问题更简洁。
例3.椭圆■+■=1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。
分析：此题的关键条件在于“∠F1PF2为钝角”，如果利用在F1PF2中余弦定理，进一步用到焦半径公式也未尝不可，相对用向量的知识解决运算更小，只需向量的坐标运算即可。
解：设P（xp，yp），则y2p=4-■x2p（1）
焦点F1（-■，０），（■，０）
■＝（-■-xp，-yp）PF2=(■-xp，-yp)
∠F1PF2为钝角，
■■＝ＰＥ１ＰＦ２cosθ
（-■-ｘｐ）＝（■-ｘｐ）+ｙ２ｐ＜０
ｘ２ｐ+ｙ２ｐ-５＜０ （2）
由（1）、（2）知-■＜ｘｐ＜■
2.利用向量共线的充要条件处理有关共线、平行等问题，比用斜率研究简捷，可以免去对斜率是否存在的讨论，而且避免了大量计算。
例4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，
证明：直线AC经过原点O.
分析：本题主要考查圆锥曲线上点的坐标表示，向量中三点共线的条件及向量相等。
证明：设A（■，ｙ１），B（■，ｙ２）
由条件知C（- ■，ｙ２），
A、B、F三点共线，所以存在实数λ，使■＝λ■
即 〔■－■，－y1〕=λ〔■－■，－y2〕
即■=λ（■-■）
■=λ（-■）
■＝〔■y■〕，■=〔-■，y■〕
■＝λ■
故A、O、C三点共线，即直线AC过原点。
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