函数零点(方程根)问题“串串烧”

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函数与方程，是新课标新增内容，也是历年高考的高频考点，在高考中通常以选择题、填空题的形式考查.而函数零点(方程根)问题，已成为新课标高考的必考题型，从2012年的高考真题中可见一斑.

【例题】（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为（

）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】 D.

【解析】由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0.其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■(k∈Z)，故x=■+■(k∈Z).又因为x∈[0,2π]，所以x=■，■，■，■，所以零点的个数为1+4=5个，故选D.

【说明】函数f（x）=xcos2x=0在区间[0,2π]上的零点个数就是确定方程xcos2x=0在区间[0,2π]上根的个数，当这个方程容易求根时，可以通过直接求根来确定原函数的零点的个数.

【变式1】(2102年高考北京文)函数f（x）=x■■-（■）■的零点个数为（

）

A． 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B.

【解析】因为函数f（x）=x■-（■）■在定义域[0,+∞）上是增函数，且f（0）=-1＜0，f（1）=1-■=-■＜0，所以由函数零点的存在性定理知f（x）=x■■-（■）■存在唯一的零点x0，且x0∈（0，1），故选B.

【说明】所谓函数零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是f（x）=0方程的根.当满足条件f（a）·f（b）＜0时，为了保证y=f（x）在区间（a，b）内只有一个零点，我们必须说明y=f（x）在区间（a，b）内单调.

【变式2】(2012年高考湖南)设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f ′（x）是f （x）的导函数，当x∈[0,π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为（

）

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8

【答案】Ｂ.

【解析】由当x∈（0，π） 且x≠■时 ，（x-■）f ′（x）＞0，知x∈[0,■)时，f ′（x）

【说明】当所给函数不单调且对应方程无法直接解出时，往往可利用函数性质画出函数图像，进而从图像中直接“读出”答案.本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.

【变式3】（2012年高考福建理）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab,a≤bb2-ab,a＞b设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________.

【答案】（■，0）．

【解析】由新定义得f（x）=（2x-1）2-（2x-1）（x-1），（x-1）2-（2x-1）（x-1），■=2x2-x，x≤0-x2+x，x＞0所以可以画出草图，若方程f（x）=m有三个根，则0＜m＜■，且当x＞0时方程可化为-x2+x-m=0，易知x2x3=m，当x≤0时方程可化为2x2-x-m=0，可解得x1=■，所以x1x2x3=m·■，又易知当m=■时m·■有最小值，所以■×■＜m·■＜0，即■＜x1x2x3＜0.

【说明】本题将方程的根的问题转化为两个两数图像的交点问题，求解这类问题的关键是构造函数，并作函数图像.本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．

【变式4】（2012年高考天津文）已知函数y=■的图像与函数y=kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .

【答案】0＜k＜1或0＜k＜2.

【解析】 函数y=■=■，当x＞1时，y=■=x+1=x+1，当x＜1时，y=■=-x+1=-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1综上函数y=■x+1，x≥1-x-1，-1≤x＜1x+1，x＜-1作出函数的图像，要使函数y与y=kx有两个不同的交点，则直线y=kx必须在深色或浅色区域（阴影部分）内（如图），B（1，2），D（-1，0），则此时当直线经过右上阴影部分（浅色）区域时，k满足1＜k＜2，当经过左下阴影部分（深色）区域时，k满足0＜k＜1，综上实数k的取值范围是0＜k＜1或1＜k＜2.

【说明】本题与变式3相似，两个函数一定一动，故只需将“定函数”图像做出后，再将另一个含参数的“动函数”的图像旋转，便可找到所求参数的取值范围.解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．

从以上分析可以看出，判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．

类题练习:

1.“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点”的（ ）